§$3.3$ 凝聚定理

$\mathrm{3.3.1}$ 基本内容

1. 凝聚定理 ($Bolzano-Weierstrass$ (魏尔斯特拉斯) 定理): 有界数列必有收敛子列.

2. 凝聚定理在实数系中成立, 在有理数集 $Q$ 中不成立 (作为思考题).

3. 评注 从数列的极限理论知道, 收敛数列一定有界, 但有界数列不一定收敛. 在一系列需要构造收敛数列的分析问题中, 往往采取分两步走的办法, 即一开始构造一个有界数列, 然后对它用凝聚定理得到收敛子列. 凝聚定理的这种用法往往有效, 用形象化的语言来说, 即是从混乱中找出了秩序.

$\mathrm{3.3.2}$ 例题

凝聚定理的证法很多. 除了例题 $\mathrm{3.2.2}$ 的证明外, 这里介绍一个较新的证明. 它依赖于一个很有意思的发现: 任何数列都有单调子列 (可以参考 [$8$, $41$, $55$]). 需要指出: 这个结论与实数系无关. 将它用于有界数列, 再利用单调有界数列的收敛定理, 就得到凝聚定理. 因此为证明凝聚定理, 我们只需证明下列结论.

例题 3.3.1

每个数列都有单调子列.

证明

称数列 $\{a_n\}$ 中的项 $a_n$ 具有性质 ($M$): 若对每个 $i>n$ , 成立 $a_n⩾a_i$ . 这就是说, $a_n$ 是集合 $\{a_i\mid i⩾n\}$ 的最大数.

分两种情况讨论. (1) 数列 $\{a_n\}$ 有无穷多项具有性质 ($M$). 将它们按下标的顺序排队, 记为 $a_{n_1},a_{n_2},\cdots ,a_{n_k},\cdots$ , 满足条件 $n_1<n_2<\cdots <n_k<\cdots$ . 那么就已经得到一个单调减少的子列 $\{a_{n_k}\}$ .

(2) 数列 $\{a_n\}$ 中只有有限多项具有性质 ($M$). 那么存在 $N$ , 使得所有的 $a_n(n⩾N)$ 都不具有性质 ($M$). 从中任取一项记为 $a_{n_1}$ . 因为它不具有性质 ($M$), 所以能找到 $n_2>n_1$ , 使得 $a_{n_1}<a_{n_2}$ . 同样因为 $a_{n_2}$ 不具有性质 ($M$), 所以又有 $n_3>n_2$ , 使得 $a_{n_2}<a_{n_3}$ . 这样就可归纳地定出严格单调增加的子列 $\{a_{n_k}\}$ . $\square$

若要作进一步了解, 可参考《美国数学月刊》($1988$) 第 $95$ 卷 $44$—$45$ 页.

作为凝聚定理的一个应用, 同时也是对凝聚定理的一个发展, 有以下例题.

例题 3.3.2

数列有收敛子列的充分必要条件是该数列不是无穷大量.

证明

必要性是明显的. 现证明充分性. 设 $\{a_n\}$ 是一个数列, 它不是无穷大量. 写出无穷大量的定义, 即

$$\forall G>0,\exists N,\forall n>N,\text{ 成立 }|a_n|>G,$$

然后用 §$1.4$ 的对偶法则, 写出“不是无穷大量”的正面陈述:

$$\exists G_0>0,\forall N,\exists n>N,\text{ 成立 }|a_n|⩽G_0.$$

现在对 $N=1$ ，取 $n_1>1$ ，使 $\left|a_{n_1}\right|<G_0$ 。再对 $N=n_1$ ，取 $n_2>n_1$ ，使得 $\left|a_{n_2}\right|<G_0$ 。这样就可以归纳地得到数列 $\{a_n\}$ 的一个有界子列 $\{a_{n_k}\}$ 。对它用凝聚定理，就得到 $\{a_{n_k}\}$ 的一个收敛子列。由于它也是 $\{a_n\}$ 的子列(一个数列的子列的子列仍然是数列的子列)，这样就找到了数列 $\{a_n\}$ 的一个收敛子列. □

$\mathrm{3.3.3}$ 练习题

1. 对于给定的数列 $\{x_n\}$ 和数 $a$ , 证明: 在 $a$ 的每个邻域中有数列 $\{x_n\}$ 的无穷多项的充分必要条件是, $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的某个子列的极限.

2. 证明: 有界数列发散的充分必要条件是存在两个收敛于不同极限值的子列.

3. 证明: 若 $\{x_n\}$ 无界, 但不是无穷大量, 则存在两个子列, 其中一个子列收敛, 另一个子列是无穷大量.

4. 用凝聚定理证明单调有界数列的收敛定理.