§3.1 确界的概念和确界存在定理

3.1.1 基本内容

这里最基本的概念、定义和定理如下 (其中凡提到数集时均指非空实数集):

1. 一个实数集合有上界不一定有最大数, 有下界不一定有最小数.

2. 定义: (1) 如果 $A$ 是一个有上界的实数集, 则称 $A$ 的最小上界为 $A$ 的上确界; (2) 如果 $A$ 是一个有下界的实数集, 则称 $A$ 的最大下界为 $A$ 的下确界.

3. 记号: 数集 $A$ 的上确界记为 $\sup A$ , 数集 $A$ 的下确界记为 $\inf A$ .

4. 如果数集 $A$ 有最大数, 则这个最大数就是 $A$ 的上确界; 如果数集 $A$ 有最小数, 则这个最小数就是 $A$ 的下确界.

5. 确界存在定理: 在实数系中, 有上界的数集一定有上确界, 有下界的数集一定有下确界.

6. 对无上界的数集 $A$ , 约定 $\sup A=+\infty$ ; 对无下界的数集 $A$ , 约定 $\inf A=-\infty$ .

7. 由上确界的定义知道: 数 $\beta$ 是数集 $A$ 的上确界, 如果满足以下两个条件: (1) $\beta$ 是 $A$ 的上界, 即对每一个数 $x\in A$ , 成立 $x⩽\beta$ ; (2) 比 $\beta$ 小的数不会是数集 $A$ 的上界, 即对每一个数 ${\beta }^{\prime }<\beta$ , 存在 $x^{\prime }\in A$ , 使得 $x^{\prime }>{\beta }^{\prime }$ .

8. 由下确界的定义知道: 数 $\alpha$ 是数集 $A$ 的下确界, 如果满足以下两个条件: (1) $\alpha$ 是 $A$ 的下界, 即对每一个数 $x\in A$ , 成立 $x⩾\alpha$ ; (2) 比 $\alpha$ 大的数不会是数集 $A$ 的下界, 即对每一个数 ${\alpha }^{\prime }>\alpha$ , 存在 $x^{\prime }\in A$ , 使得 $x^{\prime }<{\alpha }^{\prime }$ .

9. 数集的上 (下) 确界如果存在, 则必定唯一.

3.1.2 例题

由确界存在定理可以证明单调有界数列的收敛定理. 初学者要注意在这个证明中对于单调数列的极限作出了准确的刻画.

例 3.1.1

用确界存在定理证明单调有界数列一定收敛.

证明

不妨只讨论单调减少的有界数列. 设 $\{a_n\}$ 是一个这样的数列, 即有

$$a_1⩾a_2⩾\cdots ⩾a_n⩾\dots ,$$

同时根据条件, 这个数列有下界 (它显然以 $a_1$ 为上界).

现考虑数集 $A=\{a_n\mid n\in {\mathbf{N}}_{+}\}$ . 由于数列有下界, 因此数集 $A$ 有下界. 对 $A$ 应用确界存在定理, 知道 $A$ 有下确界. 记这个下确界为 $a=\inf A$ .

根据下确界的定义, $a$ 是数集 $A$ 的最大下界. 因此一方面, 对每个 $n$ 有 $a_n⩾a$ . 另一方面, 对每一个 $\epsilon >0$ , 比 $a$ 大的数 $a+\epsilon$ 就不能再是数集 $A$ 的下界, 因此在数列中一定有一项比 $a+\epsilon$ 还要小, 将这一项记为 $a_N$ , 就得到

$$a+\epsilon >a_N.$$

由于数列的单调减少性质, 当 $n>N$ 时成立

$$a+\epsilon >a_N⩾a_n⩾a.$$

因此在 $n>N$ 时就得到

$$\left|a_n-a\right|⩽\left|a_N-a\right|<\epsilon .$$

这样就证明了单调减少有界数列收敛, 而且它的极限就是数集 $A$ 的下确界. $\square$

必须强调指出, 确界存在定理是在实数系 $\mathbf{R}$ 中才成立的.

例 3.1.2

举例说明：有上界的有理数集在 $\mathbf{Q}$ 中可以没有上确界，有下界的有理数集在 $\mathbf{Q}$ 中可以没有下确界.

解

对两个论断之一举例就够了．从中学数学出发，将无理数理解为不循环十进无尽小数，则只要取 $\sqrt{2}$ 的 $n$ 位有效不足近似值作为 $a_n:a_1=1,a_2=1.4,a_3=1.41,\cdots$ ，就得到严格单调增加的有理数数列 $\{a_n\}$ ，它收敛于 $\sqrt{2}$ 。从上一个例题可知，这也就是数集 $A=\{a_n\mid n\in N_{+}\}$ 的上确界。由于上确界唯一，因此数集 $A$ 在有理数集中就没有上确界。

由此可知: 在有理数集 $\mathbf{Q}$ 中的单调有界数列在 $\mathbf{Q}$ 中可以没有极限.

下一个例题说明在确界和数列之间存在密切联系.

例 3.1.3

设 $A$ 是有上界的数集, $\beta =\sup A$ . 证明: 存在 $\{a_n\}$ , 使 $a_n\in A$ , $n\in N_{+}$ , 而且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\beta$ . 又若 $\beta \notin A$ , 则 $\{a_n\}$ 可以是严格单调增加的.

证明

如果 $A$ 的上确界就是数集的最大数, 即 $\beta =\sup A\in A$ , 则只要简单取 $a_n=\beta (n\in {\mathbf{N}}_{+})$ 即可. 这时数列 $\{a_n\}$ 是常值数列. 以下讨论 $\beta \notin A$ 的情况.

由于 $\beta$ 是数集 $A$ 的最小上界, 对每个正整数 $n,\beta -1/n$ 不会是数集 $A$ 的上界. 因此在 $A$ 中至少存在一个数比 $\beta -1/n$ 大, 将它记为 $a_n$ . 对每个 $n$ 都这样做, 就得到一个数列 $\{a_n\}$ . 从不等式

$$\beta -\frac{1}{n}<a_n⩽\beta ,n\in {\mathbf{N}}_{+}$$

可见, 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $\beta$ .

为了使得数列 $\{a_n\}$ 严格单调增加 (这同时使数列中的每一项和其他任何一项不相等), 对以上的做法还要作一点改进. 实际上, 在取定第一项时, 有 $\beta -1<a_1⩽\beta$ . 但由于 $\beta$ 不属于数集 $A$ , 因此它不会等于 $a_1$ . 这样就得到

$$\beta -1<a_1<\beta .$$

由于 $a_1$ 和 $\beta -\frac{1}{2}$ 都比 $\beta$ 小，即 $\max \left\{a_1,\beta -\frac{1}{2}\right\}<\beta ,$ 因此可以在数集 $A$ 找到 $a_2$ 使它同时满足条件：

$$\beta -\frac{1}{2}<a_2<\beta \text{和}{a}_1<a_2.$$

注意: 根据上述同样的理由, 已将不等式 $a_2⩽\beta$ 改为 $a_2<\beta$ . 这样归纳地做下去, 就可以取到数列 $\{a_n\}$ , 使得对每一个 $n$ 同时成立不等式

$$\beta -\frac{1}{n}<a_n<\beta \text{和}{a}_{n-1}<a_n.$$

其中第一个不等式使 $\{a_n\}$ 收敛于 $\beta$ ，第二个不等式保证它严格单调增加。

3.1.3 练习题

练习题

1. 试证明确界的唯一性.

2. 设对每个 $x\in A$ 成立 $x<a$ . 问: 在 $\sup A<a$ 和 $\sup A⩽a$ 中哪个是对的?

3. 设数集 $A$ 以 $\beta$ 为上界, 又有数列 $\{x_n\}\subset A$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\beta$ . 证明: $\beta =\sup A$ .

4. 求下列数集的上确界和下确界:

(1) $\{x\in \mathbf{Q}\mid x>0\}$ ;

(2) $\{y\mid y=x^2,x\in (-\frac{1}{2},1)\}$ ;

(3) $\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\mid n\in {\mathbf{N}}_{+}\right\}$ ;

(4) $\{n{\mathrm{e}}^{-n}\mid n\in {\mathbf{N}}_{+}\}$ ;

(5) $\{\arctan x\mid x\in (-\infty ,+\infty )\}$ ;

(6) $\left\{(-1{)}^n+\frac{1}{n}(-1{)}^{n+1}\mid n\in {\mathbf{N}}_{+}\right\}$ ;

(7) $\left\{1+n\sin \frac{n\pi }{2}\mid n\in {\mathbf{N}}_{+}\right\}$ .

5. 证明:

(1) $\sup \{x_n+y_n\}⩽\sup \{x_n\}+\sup \{y_n\};$

(2) $\inf \{x_n+y_n\}⩾\inf \{x_n\}+\inf \{y_n\}.$

6. 设有两个数集 $A$ 和 $B$ , 且对数集 $A$ 中的任何一个数 $x$ 和数集 $B$ 中的任何一个数 $y$ 成立不等式 $x⩽y$ . 证明: $\sup A⩽\inf B$ .

7. 设数集 $A$ 有上界, 数集 $B=\{x+c\mid x\in A\}$ , 其中 $c$ 是一个常数. 证明:

$$\sup B=\sup A+c,\inf B=\inf A+c.$$

8. 设 $A,B$ 是两个有上界的数集, 又有数集 $C\subset \{x+y\mid x\in A,y\in B\}$ , 则 $\sup C⩽\sup A+\sup B$ . 举出成立严格不等号的例子.

9. 设 $A,B$ 是两个有上界的数集, 又有数集 $C\supset \{x+y\mid x\in A,y\in B\}$ , 则 $\sup C⩾\sup A+\sup B$ . 举出成立严格不等号的例子.

(合并以上两题可见: 当且仅当 $C=\{x+y\mid x\in A,y\in B\}$ 时成立 $\sup C=\sup A+\sup B$ .)