§$26.1$ 散度和旋度

## $26.1.1$ 散度

设 $D$ 是 $\mathbf{R}^3$ 中的一个区域，$\pmb{a}(x,y,z) = P(x,y,z)\pmb{i} + Q(x,y,z)\pmb{j} + R(x,y,z)\pmb{k}$ 是定义在 $D$ 上的向量值函数，称 $\pmb{a}$ 是定义在 $D$ 上的一个向量场。又设 $P, Q, R$ 有连续的偏导数，记

$$
\operatorname{div} \boldsymbol {a} = \frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y} + \frac {\partial R}{\partial z},
$$

称之为向量场 $\boldsymbol{a}$ 的散度，它是一个数量，有时也记为 $\nabla \cdot \boldsymbol{a}$。注意与一个三元函数 $f$ 的梯度 $\nabla f$ 的区别（见 $21.2.2$ 小节）。

类似地在 $\mathbf{R}^2$ 中，若 $\boldsymbol{a} = P(x,y)\boldsymbol{i} + Q(x,y)\boldsymbol{j}$，则

$$
\operatorname{div} \boldsymbol {a} = \frac {\partial P}{\partial x} + \frac {\partial Q}{\partial y}.
$$

利用散度的记号，可以将 $Gauss$ 公式（$25.5$）、（$25.6$）写为

$$
\iiint_ {D} \operatorname{div} \boldsymbol {a} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \oiint_ {\partial D} P \mathrm{d} y \mathrm{d} z + Q \mathrm{d} z \mathrm{d} x + R \mathrm{d} x \mathrm{d} y,\tag{26.1}
$$

$$
\iiint_ {D} \operatorname{div} \boldsymbol {a} \mathrm{d} x \mathrm{d} y \mathrm{d} z = \oiint_ {\partial D} \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {n} \mathrm{d} S,\tag{26.2}
$$

其中 $\boldsymbol{a} = (P, Q, R)$，$\boldsymbol{n}$ 是 $\partial D$ 上的单位外法向量。而将 $Green$ 公式（$24.9$）、（$24.10$）写为

$$
\iint_ {D} \operatorname{div} \boldsymbol {a} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \oint_ {\partial D} - Q \mathrm{d} x + P \mathrm{d} y,\tag{26.3}
$$

$$
\iint_ {D} \operatorname{div} \boldsymbol {a} \mathrm{d} x \mathrm{d} y = \oint_ {\partial D} \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {n} \mathrm{d} s.\tag{26.4}
$$

又可将公式（$26.2$）与（$26.4$）统一写为

$$
\int_ {D} \operatorname{div} \boldsymbol {a} \mathrm{d} V = \oint_ {\partial D} \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {n} \mathrm{d} S.\tag{26.5}
$$

上述公式称为散度定理，它对任意维数都是成立的。

$n = 1$ 时，一元函数 $f(x)$ 的散度是 $f'(x)$，$\mathrm{d}V = \mathrm{d}x$，在区间的左端点 $n = -1$，在区间的右端点 $n = 1$，在区间端点的点积分理解为被积函数在该点的值，则（$26.5$）就是 $Newton-Leibniz$ 公式。

$n = 2$ 时（$26.5$）就是 $Green$ 公式，$\mathrm{d}V$ 为面积元。

$n = 3$ 时（$26.5$）就是 $Gauss$ 公式，$\mathrm{d}V$ 是体积元，$\boldsymbol{n}$ 是 $\partial D$ 上的单位外法向量。

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