§$2.3$ 单调数列

关于单调数列的基本结论很简单, 只不过是

$(1)$ 单调有界数列一定收敛;

$(2)$ 单调无界数列一定是有确定符号的无穷大量.

然而这两个基本结论在数列的研究中起着很重要的作用。它们不仅是本节各个例题中的主要工具，而且也是学习 §$2.5$ 和 §$2.6$ 的基础。

与 §$2.1$ 一开始的收敛数列的定义相比较, 可以看出对单调数列来说, 我们可以从数列本身判定其收敛或发散, 而不需要对极限的存在或不存在作假定. 这是一个很大的进步. 由于对单调有界数列只肯定了它的极限存在, 而没有给出极限本身, 因此这是在数学中的存在性定理的一个典型例子. 从下面的例题可以看出, 极限的存在性有时能帮助我们将极限计算出来.

如何对一般的数列从其本身来判定它收敛还是发散？这就是下一章 §$3.4$ 中的 $Cauchy$ 收敛准则要回答的问题。

$\mathrm{2.3.1}$ 例题

收敛数列当然不一定是单调数列, 但是有很多常用的数列确实是单调的, 或者从某一项开始是单调的. 例如以下几个常见数列的收敛性都可以从单调性出发得到证明 (虽然不一定是最佳的证明方法), 并求出它们的极限:

$$\{\sqrt[n]{a}\}(a>0),\{\sqrt[n]{n}\},\left\{\frac{n^k}{a^n}\right\}(k>0,a>1),\left\{\frac{a^n}{n!}\right\},\left\{\frac{n!}{n^n}\right\}.$$

为了知道一个数列是否单调, 一个自然的方法就是去比较数列中相继两项的大小. 这可以通过分析相继两项之比或差来达到目的. 以下几个例子都是如此, 其中还介绍在知道极限存在后如何计算极限.

下面的前两个例题是上一节的例题 $\mathrm{2.1.1}$ 和 $\mathrm{2.1.2}$ 的新解, 但在问题的提法上有不同, 不再是验证已给定数列是否以某个数为其极限了.

例题 $2.3.1$

用单调有界数列的收敛定理, 证明 $\left\{\frac{n^5}{2^n}\right\}$ 收敛, 并求其极限.

证明

记数列的通项为 $a_n=\frac{n^5}{2^n},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 则可以看出前后两项之比为

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}\cdot {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^5.$$

分析上式右边的第二个因子, 从 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^5=1$ , 可见存在 $N$ , 当 $n>N$ 时, 满足不等式 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^5<2$ . 因此, 当 $n>N$ 时, 就有

$$a_{n+1}=a_n\cdot \frac{1}{2}\cdot {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^5<a_n.\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

由此可见, 至少从 $n>N$ 起数列 $\{a_n\}$ 严格单调减少. 又由于 $\{a_n\}$ 是正数列, 以 $0$ 为下界, 因此就可以用单调有界数列的收敛定理, 知道存在极限 $a={\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ . 利用极限的存在性, 在 $(2.5)$ 左边的等式两边令 $n\to \infty$ , 就有

$$a=\frac{1}{2}a⟹a=0.$$

希望初学者比较这个方法与例题 $\mathrm{2.1.1}$ 中的方法. 这里在问题的提法、采取的思路和所需要的工具等方面都完全不同.

例题 $2.3.2$

研究数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 是否单调, 并求出该数列的极限.

证明

记 $a_n=\sqrt[n]{n},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ . 计算数列的前几项, 得 $a_1=1,a_2=\sqrt{2}$ , 以及 $a_3=\sqrt[3]{3}\approx 1.44,a_4=a_2\approx 1.41,a_5=\sqrt[5]{5}\approx 1.38,a_6=\sqrt[6]{6}\approx 1.35,\cdots$ , 可见这个数列有可能从第三项起严格单调减少. 比较前后两项, 由于有

$$a_{n+1}=\sqrt[n+1]{n+1}<a_n=\sqrt[n]{n}⟺{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<n,$$

只要证明当 $n$ 充分大时右边的不等式成立, 就可以证实我们的猜测正确. 利用平均值不等式, 可以得到

$$\frac{1}{n}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n={\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}^2{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<{\left(\frac{n+1+2/\sqrt{n}}{n+2}\right)}^{n+2},$$

可见只要 $n>4$ 就可以使上式右边的表达式严格小于 $1$ . 因此数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 至少从第 $5$ 项起是严格单调减少数列. 又由于这个数列以 $1$ 为下界, 因此从单调有界数列的收敛定理知道, 存在极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=a⩾1.$$

以下只要证明 $a>1$ 是不可能的. 用反证法. 若有 $a=1+h,h>0$ , 则当 $n$ 充分大时应当成立 $\sqrt[n]{n}>1+h$ , 从而得到

$$n>(1+h{)}^n>\frac{n(n-1)}{2}{h}^2.$$

但这是不可能的. 因此得出结论: ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$ .

对数列研究前后两项之比可以提升为一种方法, 并建立如下结果.

例题 $2.3.3$

设对于 $\{a_n\}$ , 有 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=c<1$ , 则 $\{a_n\}$ 是无穷小量.

证明

取 $\epsilon =(1-c)/2$ ，有 $N$ ，当 $n>N$ 时，成立

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<c+\frac{1-c}{2}=\frac{1+c}{2}<1,$$

因此在 $n>N$ 时 $\{|a_n|\}$ 是严格单调减少数列. 由于它以 $0$ 为下界, 因此收敛. 记它的极限为 $a$ . 在不等式

$$\left|a_{n+1}\right|<\frac{1+c}{2}\left|a_n\right|\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

两边令 $n\to \infty$ , 就得到 $0⩽a⩽a(1+c)/2$ . 因为 $0<(1+c)/2<1$ , 这只能导致 $a=0$ . 从 $\{|a_n|\}$ 收敛于 $0$ 可知 $\{a_n\}$ 也收敛于 $0$.

这个例题中由于有很强的条件, 不用单调有界数列的收敛定理也能证出来. 例如, 在得到不等式 $(2.6)$ 后, 引入记号 $c_1=(1+c)/2$ , 然后证明存在常数 $M>0$ , 使不等式 $|a_n|<M{c}_1^n$ 在 $n>N$ 时成立, 由于 $c_1\in (0,1)$ , 可知有 ${\lim }_{n\to \infty }|a_n|=0$ . 因此, 对一般的数列研究其后项与前项之比也可能有用处.

例题 $2.3.4$

设 $a_n=\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{2n},n\in N_{+}$ ，证明数列 $\{a_n\}$ 收敛.

证明

比较数列的前后两项之差, 就可发现

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}>2\cdot \frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}=0,$$

可见数列单调增加. 由于 $a_n<\frac{n}{n+1}<1$ , 可取 $1$ 作为上界, 因此数列收敛.

以后将会求出本题中的数列极限是 $\ln 2$ (见例题 $\mathrm{2.5.4}$, $\mathrm{11.4.1}$).

下一个例子并不难, 但是其中的方法很基本, 同时它的结论自 $1976$ 年后在计算数学中变得很有用 (见例题后的注解).

例题 $2.3.5$

给定两个正数 $a$ 和 $b$ , 且有 $0<b<a$ . 令 $a_0=a,b_0=b$ , 并按照递推公式

$$a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},b_n=\sqrt{a_{n-1}{b}_{n-1}},n\in {\mathbf{N}}_{+},$$

定义数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ . 证明这两个数列收敛于同一个极限.

证明

利用 $0<b_0<a_0$ 和平均值不等式, 可以得到 $b_0<b_1<a_1<a_0$ . 用数学归纳法可以证明对每个 $n$ 均成立

$$b_0<b_1<\cdots <b_n<a_n<\cdots <a_1<a_0.$$

因此数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是单调有界的, 记极限为 $A$ 和 $B$ , 则均为正数. 在两个迭代式中任取一个, 令 $n\to \infty$ , 就得到 $A=B$ .

一般称上述极限为数 $a$ 和 $b$ 的算术几何平均值, 记为 $AG(a,b)$ . 利用积分换元计算可以得到 $AG(a,b)$ 的解析表达式 (见 [14] 第二卷的 $315$ 小节):

$$AG(a,b)=\frac{\pi }{2G},\text{其中}G={\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2{\cos }^{2}x+b^2{\sin }^{2}x}}.$$

算术几何平均值和上述解析表达式是大数学家 $Gauss$ (高斯) 在 $14$ 岁 ($1791$ 年) 时发现的, 在他的早期研究工作中起了重要的作用. 但这个结果长期以来没有引起足够重视, 直到 $1976$ 年才由 $Salamin$ (萨拉明) 和 $Brent$ (布伦特) 等人以此为基础发展出一种算术几何平均值快速算法, 成为目前在计算机上计算圆周率 $\pi$ 和初等函数的最有效方法之一. 例如对于 $\pi$ 来说, 这种算法每计算一步可以使 $\pi$ 的有效位数增加一倍或更多 (见例题 $\mathrm{8.7.2}$ 及其注之后的介绍). 关于 $\pi$ 在历年来的许多奇妙发现可以参看 [1, 60].

下一题就是前面的例题 $\mathrm{2.2.4}$, 但方法与当时的夹逼方法完全不同.

例题 $2.3.6$

求数列 $\{a_n\}$ 的极限, 其中 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots +n!}{n!},n\in N_{+}$ .

解

研究相继两项之比 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ , 有

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1!+2!+\cdots +(n+1)!}{(n+1)(1!+2!+\cdots +n!)}=\frac{3+3!+\cdots +(n+1)!}{(n+1)+(n+1)2!+\cdots +(n+1)!}.$$

在 $n>2$ 时分母的每一项大于等于分子的对应项, 因此 $\{a_n\}$ 在 $n>2$ 后单调减少. 由于 $0$ 是下界, 因此数列收敛. 又可发现联系前后两项的另一个关系式为

$$a_{n+1}=1+\frac{a_n}{n+1},$$

在两边令 $n\to \infty$ , 即知极限为 $1$.

$\mathrm{2.3.2}$ 练习题

1. 证明: 若 $\{x_n\}$ 单调, 则 $\{|x_n|\}$ 至少从某项开始后单调. 又问: 反之如何?

2. 设 $\{a_n\}$ 单调增加, $\{b_n\}$ 单调减少, 且有 ${\lim }_{n\to \infty }(a_n-b_n)=0$ . 证明: 数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都收敛, 且极限相等.

3. 按照极限的定义证明：单调增加有上界的数列的极限不小于数列的任何一项，单调减少有下界的数列的极限不大于数列的任何一项.

4. 设 $x_n=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}\cdot \cdots \cdot \frac{n+1}{2n+1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 求数列 $\{x_n\}$ 的极限.

5. 设 $a_n=\frac{10}{1}\cdot \frac{11}{3}\cdot \cdots \cdot \frac{n+9}{2n-1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 求数列 $\{a_n\}$ 的极限.

6. 在例题 $\mathrm{2.2.6}$ 的基础上证明: 当 $p>1$ 时, 数列 $\{S_n\}$ 收敛, 其中

$$S_n=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\cdots +\frac{1}{n^p},n\in {\mathbf{N}}_{+}.$$

7. 设 $0<x_0<\frac{\pi }{2}$ , $x_n=\sin x_{n-1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 证明: $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限. (参见 §$2.6$ 和例题 $\mathrm{8.1.10}$.)

8. 设 $a_n={\left[\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right]}^2,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 证明: $\{a_n\}$ 收敛于 $0$ .

$$a_n=\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 2}\right)\left(\frac{3\cdot 5}{4\cdot 4}\right)\dots \left[\frac{(2n-3)(2n-1)}{(2n-2)(2n-2)}\right]\left[\frac{2n-1}{(2n{)}^2}\right].$$

9. 设 $a_n={\left[\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right]}^2\cdot \frac{1}{2n+1},n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 证明: $\{a_n\}$ 收敛. (方法与上一题类似. 在学了积分学后将于命题 $\mathrm{11.4.1}$ 中求出上述数列的极限为 $\frac{\pi }{2}$ . 这就是 $Wallis$ 公式.)

10. 下列数列中, 哪些是单调的:

$(1)$ $\left\{\frac{1}{1+n^2}\right\}$ $(2)$ $\{\sin n\}$ $(3)$ $\{\sqrt[n]{n!}\}$ .

11. 证明: 单调数列 $\{a_n\}$ 收敛的充分必要条件是它有一个收敛子列.

12. 对每个正整数 $n$ , 用 $x_n$ 表示方程 $x+x^2+\cdots +x^n=1$ 在闭区间 $[0,1]$ 中的根. 求 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n.$