§$22.4$ 广义重积分

$\mathrm{22.4.1}$ 广义重积分的定义

与上册第十二章类似, 对于重积分也可作两方面的推广: 无界区域上的积分和无界函数的积分. 我们仅考虑 ${\mathbf{R}}^2$ 的情况, 其结论很容易推广到 ${\mathbf{R}}^n(n⩾3)$ 中去.

先考虑无界区域上的广义二重积分.

设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中的无界区域, 其边界由有限条光滑或逐段光滑曲线组成. 函数 $f$ 定义在 $D$ 上, 且在 $D$ 内的任何可求面积的有界子区域上可积. 设 $D_r$ 是 $D$ 内的任一可求面积的有界子区域, 包含 $D\cap B_r$ , 其中 $B_r$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中以 $r$ 为半径的闭圆盘. 若极限

$$I=\underset{r\to +\infty }{\lim }{\iint }_{D_r}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

存在且有限, 并与 $D_r$ 的取法无关, 则称 $f$ 在 $D$ 上的 (广义) 积分收敛, 或者称 $f$ 在 $D$ 上广义可积. 否则称 $f$ 在 $D$ 上的 (广义) 积分发散. 极限值 $I$ 称为 $f$ 在 $D$ 上的广义积分的值, 记为 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ .

如果函数 $f$ 非负, 且在 $D$ 内的任何可求面积的有界子区域上可积, $D_n$ 是包含 $D\cap B_n,n=1,2,\cdots$ 的一列可求面积的有界子区域, 则 $f$ 在 $D$ 上可积的充分必要条件是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\iint }_{D_n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

存在. 这个条件也相当于

$$\underset{n}{\sup }\left\{{\iint }_{D_n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y<+\infty \right\}.$$

无界函数在有界区域上的广义二重积分可定义如下：

设 $D$ 为 ${\mathbf{R}}^2$ 上的可求面积的有界区域, 点 $p_0\in D$ , 函数 $f$ 定义在 $D\setminus \{p_0\}$ 上, 且对任何点 $p_0$ 的可求面积的邻域 $\Delta$ , $f$ 在 $D\setminus \Delta$ 上有界可积. 如果

$$I=\underset{d(\Delta )\to 0}{\lim }{\iint }_{D\backslash \Delta }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

存在且有限, 并与 $\Delta$ 的取法无关, 其中 $d(\Delta )$ 是 $\Delta$ 的直径, 则称 $f$ 在 $D$ 上的 (广义) 积分收敛, 或者称 $f$ 在 $D$ 上广义可积. 否则称 $f$ 在 $D$ 上的 (广义) 积分发散. 极限值 $I$ 称为 $f$ 在 $D$ 上的广义积分的值, 记为 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ .

注

在上述定义中, 还可将函数 $f$ 在 $D$ 内有一个奇点改为在 $D$ 内有一条奇线 $\gamma$ , 即曲线 $\gamma$ 上每一点都是 $f$ 的奇点. 设 $D_l$ 是任意可以将 $\gamma$ 围起来的可求面积区域, 设 $f$ 在 $D\setminus D_l$ 中可积. 令 $D_l$ 收缩为 $\gamma$ , 记为 $D_l\to \gamma$ , 如果极限

$$\underset{D_l\to \gamma }{\lim }{\iint }_{D\backslash D_l}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

存在且有限, 并与 $D_l$ 的取法无关, 则称 $f$ 在 $D$ 上可积. 设 $l$ 为 $D_l$ 的边界, 其中 $D_l$ 收缩为 $\gamma$ 可理解为

$$\underset{x\in l}{\sup }\left\{\mathrm{dist}\{x,\gamma \}\right\}\to 0.$$

对于非负函数,也有与有界区域上广义重积分类似的可积充分必要条件.

$\mathrm{22.4.2}$ 收敛性判别法

由上节关于非负函数可积的充分必要条件, 我们可以得到如下收敛性判别法:

比较判别法

设 $D$ 为无界区域, 其边界由有限条光滑或逐段光滑曲线组成. 函数 $f$, $g$ 在 $D$ 上有定义, 对于 $D$ 内的任一可求面积的有界子区域 $D_r$ , $f$, $g$ 均在 $D_r$ 上有界可积. 如果 $g$ 非负, 且

$$|f(x,y)|⩽g(x,y),\forall (x,y)\in D,$$

则当 $g$ 在 $D$ 上 (广义) 可积时, $f$ 也在 $D$ 上 (广义) 可积. 反之, 如果

$$|f(x,y)|⩾g(x,y),\forall (x,y)\in D,$$

则当 $g$ 在 $D$ 上的广义积分发散时，$f$ 在 $D$ 上的广义积分也发散.

记 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 并取 $g(x,y)=\frac{C}{r^p}$ , $C$ 为常数, 由上述比较判别法可得如下判别法:

$Cauchy$ 判别法

设 $D$ 为无界区域, 其边界由有限条光滑或逐段光滑曲线组成, $f$ 在 $D$ 内的任一可求面积的有界子区域上可积, 则

(1) 如果对充分大的 $r$, 有

$$|f(x,y)|⩽\frac{C}{r^p},p>2,$$

则广义积分 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 收敛.

(2) 如果 $D$ 内含有一个顶点在原点的无限扇形: $D^{\prime }=\{\alpha ⩽\theta ⩽\beta ,r⩾r_0\}$ ，且在 $D^{\prime }$ 上，

$$|f(x,y)|⩾\frac{C}{r^p},p⩽2,$$

则广义积分 ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 发散.

与一元函数在无限区间上的广义积分不同, 广义重积分的收敛性判别有一个重要特点: 积分的收敛与绝对收敛是等价的. 证明可见 [9, 18] 等.

对于无界函数在有界区域上的广义二重积分, 讨论是类似的.

$\mathrm{22.4.3}$ 例题

例题22.4.1

计算 ${\iint }_{{\mathbf{R}}^2}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ ，并求 $Poisson$ 积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$ .

解

被积函数为 ${\mathrm{e}}^{-r^2}$ . 当 $r\to +\infty$ 时, 它比任何 $\frac{1}{r^p}(p>2)$ 都更快地趋于零, 所以广义二重积分是收敛的.

取同心圆族

$${\Omega }_{\rho }=\{x^2+y^2⩽{\rho }^2\},$$

于是

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{{\mathbf{R}}^2}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\lim }_{\rho \to +\infty }{\iint }_{{\Omega }_{\rho }}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\lim }_{\rho \to +\infty }{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\rho }{\mathrm{e}}^{-r^2}r\mathrm{d}r={\lim }_{\rho \to +\infty }\pi (1-{\mathrm{e}}^{-{\rho }^2})=\pi .\end{array}$$

在上述计算中, 如果取正方形族

$${\Omega }_l=\{-l⩽x⩽l,-l⩽y⩽l\},$$

则

$$\begin{array}{rl}{\iint }_{{\mathbf{R}}^2}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y& ={\lim }_{l\to +\infty }{\iint }_{{\Omega }_l}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\lim }_{l\to +\infty }\left\{{\int }_{-l}^l{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x{\int }_{-l}^l{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y\right\}={\left\{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x\right\}}^2.\end{array}$$

因此

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }.$$

注

$Poisson$ 积分中 $e^{-x^2}$ 的原函数不是初等函数, $Poisson$ 敏锐地观察到极坐标下二重积分有因子 $rdrd\theta$ , 由此出发他给出了上述巧妙的算法 ^① .

例题22.4.2

讨论广义重积分

$$I={\iint }_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x+y{)}^p}$$

的收敛性, 其中 $D=\{(x,y)\mid 0⩽x⩽1,x+y⩾1\}$ . 当积分收敛时, 求积分的值.

解

由于被积函数恒正, 因此可以取任一列趋于 $D$ 的有界区域列, 使得积分容易计算, 为此取

$$D_n=\{(x,y)\mid 0⩽x⩽1,1⩽x+y⩽n\},$$

则

$$I_n={\iint }_{D_n}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x+y{)}^p}.$$

作变量替换 $x=u,x+y=v$ ，则

$$I_n={\int }_0^1\mathrm{d}u{\int }_1^n\frac{\mathrm{d}v}{v^p}=\frac{1}{1-p}(n^{1-p}-1).$$

从而当 $p>1$ 时，积分收敛，且

$${\iint }_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x+y{)}^p}=\frac{1}{p-1}.$$

注

如果取

$$D_n=\{(x,y)\mid 0⩽x⩽1,x+y⩾1,y⩽n\},$$

则计算要复杂得多.

例题22.4.3

证明: 广义二重积分

$$\underset{\begin{array}{c}x⩾1\\ y⩾1\end{array}}{\iint }\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

发散.

证明

我们将证明在无限扇形 $D^{\prime }=\{(x,y)\mid 2y⩽x⩽3y,x⩾1,y⩾1\}$ 上

$$\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}\right|⩾\frac{C}{r^2},$$

其中 $r=\sqrt{x^2+y^2},C$ 为正常数. 事实上当 $2y⩽x⩽3y$ 时，

$$4y^2⩽x^2⩽9y^2,3y^2⩽x^2-y^2⩽8y^2,5y^2⩽x^2+y^2⩽10y^2,$$

从而

$$x^2-y^2⩾3y^2=\frac{3}{10}\cdot 10y^2⩾\frac{3}{10}(x^2+y^2).$$

于是

$$\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}⩾\frac{3}{10r^2},$$

所以原广义二重积分发散.

$\mathrm{22.4.4}$ 练习题

1. 讨论下列广义积分的收敛性:

$${\iint }_{{\mathbf{R}}^2}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(1+|x{|}^p)(1+|y{|}^q)};$$

(2)

$${\iint }_{|x|+|y|⩾1}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|x{|}^p+|y{|}^q};$$

(3)

$${\iint }_{x+y⩾1}\frac{\sin x\sin y}{(x+y{)}^p}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

2. 设 $D$ 是 $R^2$ 中的无界区域, $\{D_n\}$ 是 $D$ 中的单调增加的闭区域序列, 且 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{D}_n=D$ . 若 $f$ 在 $D$ 上非负, 且在每一个 $D_n$ 上可积, 则

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\underset{n\to \infty }{\lim }{\iint }_{D_n}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$

这里左端与右端同时有意义或同时无意义. (提示: 设 $D$ 和 $D_n$ ( $n=1,2,\cdots$ ) 为可求面积的有界闭区域时结论已经成立.)

3. 计算下列积分: ${\iint }_{y⩾x^2+1}\frac{dxdy}{x^4+y^2}$ .

4. 讨论下列二重广义积分的收敛性:

(1) ${\iint }_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{x^2+y^2}$ , 其中 $D$ 由条件 $|y|⩽x^2,x^2+y^2⩽1$ 所确定;

(2) ${\iint }_{x^2+y^2⩽1}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2+xy+y^2{)}^p};$ (3) ${\iint }_{x^2+y^2⩽1}\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(1-x^2-y^2{)}^p}$ .

5. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,A]$ 上连续, 讨论

$${\iint }_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|y-f(x){|}^p}$$

的收敛性, 其中 $D=[a,A]\times [b,B]$ .

6. 计算下列积分:

(1) ${\iint }_{x^2+y^2⩽1}\ln \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y;$

(2) ${\iint }_D\ln \sin (x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ , 其中 $D$ 是由直线 $y=0,y=x,x=\pi$ 所界定.