§$2.1$ 数列极限的基本概念

$\mathrm{2.1.1}$ 基本定义

$1$. 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ (即以 $a$ 为极限) 的定义是: 对于每一个给定的 $\epsilon >0$ , 存在正整数 $N$ , 使得对满足条件 $n>N$ 的每个正整数 $n$ , 成立不等式 $|a_n-a|<\epsilon$ .

$(1)$ 上述定义用逻辑符号 $\forall$ 和 $\exists$ 可简写为: $\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\forall n>N$ , 成立 $|a_n-a|<\epsilon$ .

$(2)$ 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ 的记号为 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a,$ 也可简记为 $a_n\to a$

$(3)$ 数列 $\{a_n\}$ 以 $a$ 为极限的几何意义: 对 $a$ 的每个邻域, 在 $\{a_n\}$ 中最多只有有限项落在这个邻域之外, 其余项 (可能是所有项) 均在该邻域内.

$(4)$ 数列可以看成是以正整数集 $N_{+}$ 为定义域的函数. 数列的极限是自变量 $n$ 趋于无穷大时因变量值的一种趋势.

$(5)$ 在极限定义中的 $N$ 与 $\epsilon$ 有关, 因此有时记为 $N(\epsilon )$ . $N$ 可以不是正整数, 但一般的习惯往往取 $N\in {\mathbf{N}}_{+}$ .

$2$. 称极限为 $0$ 的数列为无穷小量, 记为 $o(1)$ .

$3$. 不收敛 (即没有极限) 的数列为发散数列. 无穷大量是一类发散数列. 称数列 $\{a_n\}$ 为无穷大量, 如果对每一个给定的正数 $G$ , 存在正整数 $N$ , 使得当 $n>N$ 时, 成立 $|a_n|>G$ , 记为 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\infty$ , 也可简记为 $a_n\to \infty$ .

这个定义用逻辑符号可简写为: $\forall G>0,\exists N\in N_{+},\forall n>N,$ 成立 $|a_n|>G.$

正无穷大量和负无穷大量是带有确定符号的无穷大量, 即从某项开始后为正数或负数的无穷大量, 分别记为 $+\infty$ 和 $-\infty$ .

若一个数列是无穷大量, 则称该数列为无穷大数列. 这时可以称该 (发散) 数列有广义极限 (或非正常极限), 与收敛数列相区别. 在数列 $\{a_n\}$ 收敛或有广义极限时, 认为记号 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ 均有意义.

$4$. 记号 $o,O$ 和 $\sim$ 在极限理论中是很有用的①，它们的全面论述见本书第四章函数极限的 §$4.4$, 这里只列出以下用法:

$(1)$ 记号 $o(1)$ 表示无穷小量. 例如 $\frac{1}{n}=o(1)$ , 就是 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$ .

$(2)$ 记号 $O(1)$ 表示有界量. 例如 $\sin n=O(1)$ , 就是说 $\{\sin n\}$ 是有界数列.

$(3)$ 记号 $a_n\sim b_n$ 的定义是: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{b_n}=1$ .

$5$. 设 $\{a_n\}$ 是一个数列, 又设 $n_1<n_2<\cdots <n_k<n_{k+1}<\cdots$ 是严格单调增加的正整数列, 就可以得到另一个数列

$$a_{n_1},a_{n_2},\dots ,a_{n_k},\dots ,$$

称为数列 $\{a_n\}$ 的一个子列，记为 $\{a_{n_k}\}$ 。这就是说取数列 $\{a_n\}$ 的第 $n_1$ 项作为子列的第一项，取 $\{a_n\}$ 的第 $n_2$ 项作为子列的第二项，…。根据定义，正整数列 $\{n_k\}$ 一定是严格单调增加的正无穷大量。不等式 $n_k⩾k$ 对一切 $k\in N_{+}$ 成立。例如 $n_3=2$ 是不可能的。

$\mathrm{2.1.2}$ 思考题

为了掌握数列收敛的定义, 对以下一些问题作思考和讨论是有益的.

$1$. 数列收敛有很多等价定义. 例如:

$(1)$ 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a⟺\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\forall n⩾N$ , 成立 $|a_n-a|<\epsilon$ ;

$(2)$ 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a⟺\forall m\in {\mathbf{N}}_{+}$ , $\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}$ , $\forall n>N$ , 成立 $|a_n-a|<1/m$ ;

$(3)$ 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a⟺\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\forall n>N$ , 成立 $|a_n-a|<K\epsilon$ , 其中 $K$ 是一个与 $\epsilon$ 和 $n$ 无关的正常数.

试证明以上定义与上一小节列出的定义的等价性.

$2$. 问: 在数列收敛的定义中, $N$ 是否是 $\epsilon$ 的函数?

$3$. 判断正确与否: 若 $\{a_n\}$ 收敛, 则有 ${\lim }_{n\to \infty }(a_{n+1}-a_n)=0$ 和 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=1.$

$4$. 设收敛数列 $\{a_n\}$ 的每一项都是整数, 问: 该数列有什么特殊性质?

$5$. 问：收敛数列是否一定是单调数列？无穷小量是否一定是单调数列？

$6$. 问: 一个很小很小的量, 例如取 $1\mathrm{m}$ 为单位长度时, 几个纳米大小的量是否是无穷小量?

$7$. 问：正无穷大数列是否一定单调增加？无界数列是否一定是无穷大量？

$8$. 问: 如果数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ , 那么绝对值 $|a_n-a|$ 是否随着 $n$ 的增加而单调减少趋于 $0$?

$9$. 判断正确与否: 非负数列的极限是非负数, 正数列的极限是正数.

$\mathrm{2.1.3}$ 适当放大法

在学习数列收敛的定义时, 一开始遇到的问题就是, 对于给定的数列 $\{a_n\}$ 和数 $a$ , 如何按照定义证明 (验证) 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ , 或是其反面. 我们这里主要关心前面一种情况, 因为许多基本的数列极限都可以用验证的方法得到. 这就是要对每一个给定的正数 $\epsilon$ , 证明存在一个正整数 $N$ , 使得它满足下列要求:

$$\text{ 当 }n>N\text{ 时 },\text{ 不等式 }|a_n-a|<\epsilon \text{ 成立 }.\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

如果将不等式 $|a_n-a|<\epsilon$ 中的 $n$ 看成未知量, 对于一些简单的情况有可能直接解出这个不等式. 最简单的例子就是数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 和 $a=0$ . 这时对于给定的 $\epsilon >0$ , 不等式 $|a_n-a|<\epsilon$ 就是 $\frac{1}{n}<\epsilon$ . 它等价于 $\frac{1}{\epsilon }<n$ . 因此若取 $N=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]$ , 则当 $n>N$ 时, 就成立

$$n⩾N+1=\left[\frac{1}{\epsilon }\right]+1>\frac{1}{\epsilon },$$

从而得到 $\frac{1}{n}<\epsilon$ . 这里利用了整数部分 $[x]$ 所满足的基本不等式 $[x]⩽x<[x]+1$ .

但是能否将这个方法用于一般的 $\{a_n\}$ 和 $a$ , 从而对给定的 $\epsilon >0$ 求出符合要求 (2.1) 的正整数 $N$ ? 初学者也许会感到奇怪的是, 对上述问题的回答是否定的. 除了一些最简单的例子以外, 对一般的问题来说, 不可能采用解不等式的方法从 $|a_n-a|<\epsilon$ 求出符合要求 (2.1) 的 $N$ .

事实上, 如果要将关于 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 和 $a=0$ 的上述做法加以推广, 那就要对给定的 $\{a_n\}$ 和数 $a$ 去寻找 $\phi (\epsilon )$ , 它是 $\epsilon$ 的一个表达式, 满足下列等价关系:

$$\left|a_n-a\right|<\epsilon ⟺n>\phi (\epsilon ).\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

容易看出, 如果有了 (2.2), 则当 $\phi (\epsilon )⩾1$ 时, 取 $N=[\phi (\epsilon )]$ 即可, 否则取 $N=\max \{1,[\phi (\epsilon )]\}$ , 总可以满足要求 (2.1). 还可以看出, 这样求出的 $N$ 就是对于给定的 $\epsilon >0$ 满足要求 (2.1) 的最小的正整数.

但是从数学的角度来看, 这里有两个不能回避的问题: (1) 符合等价关系 (2.2) 的 $\phi (\epsilon )$ 存在吗? (2) 如果存在的话, 有办法计算它吗?

不幸的是, 关于这两个问题的回答都是否定的. 首先, 满足 (2.2) 的 $\phi (\epsilon )$ 可能根本不存在. 这就是说, 满足不等式 $|a_n-a|<\epsilon$ 的所有 $n$ 的全体并不能用形式为 $n>\phi (\epsilon )$ 的不等式来刻画.

其次, 即使存在这样的 $\phi (\epsilon )$ , 要想求出它往往是很困难的, 或者是根本做不到的. 只要试几个比刚才的数列 $\left\{\frac{1}{n}\right\}$ 稍稍复杂一点的例子就可以看出这一点.

既然如此, 出路何在? 实际上从数列收敛的定义可以发现, 对于 (每个) 给定的 $\epsilon >0$ , 只需求出满足要求 (2.1) 的“一个” $N$ 就够了, 完全没有必要去求出满足要求 (2.1) 的所有 $N$ 或其中最小的 $N$ . 这就是“适当放大法”的出发点.

所谓“适当放大法”，就是先找 $n$ 的一个函数 $f(n)$ ，使得 $|a_n-a|⩽f(n)$ 成立，这就是“放大”。然后再对于每个 $\epsilon >0$ ，证明存在 $N$，使得当 $n>N$ 时成立 $f(n)<\epsilon$ 。由此可以看出，如果将 $f(1),f(2),\cdots ,f(n),\cdots$ 看成一个新的数列 $\{f(n)\}$ ，则这个数列一定收敛于 $0$，也就是说数列 $\{f(n)\}$ 必须是无穷小量。初学者用适当放大法时容易犯的一个错误就是 $\{f(n)\}$ 不满足基本要求 $f(n)=o(1)$ ，也就是说放大过了头。

当然, 这个方法的成功还取决于 $\{f(n)\}$ 为无穷小量的证明必须很容易. 实际上我们总是取尽可能简单的 $f(n)$ 以满足这个要求. 所以适当放大也就是简化, 要使 $f(n)$ 比 $|a_n-a|$ 简单得多, 从而很容易验证 $f(n)=o(1)$ . 在具体问题中, 最后所取的 $f(n)$ 往往很简单, 可以从 $f(n)<\epsilon$ 直接解出 $n$ , 确定 $N$ .

再换一个角度, 可以从两个不等式, 即 $|a_n-a|⩽f(n)$ 和 $f(n)<\epsilon$ , 来观察这个方法. 其中的第一个不等式是“放大”, 要求所取的 $f(n)$ 使这个不等式对于所有的 $n$ 都成立, 或至少当 $n$ 充分大时成立. 第二个不等式的意思则完全不同. 它是在取定 $f(n)$ 后, 问是否对每一个给定的 $\epsilon >0$ 存在 $N$ , 使得当 $n>N$ 时, 这个不等式能够成立. 这个方法的成功与否在于: 所选取的 $f(n)$ 既要满足第一个不等式, 又要使第二个不等式在上述意义下容易处理. 将两个不等式联系起来, 如果当 $n>N$ 时有 $f(n)<\epsilon$ 成立, 则由于 $|a_n-a|⩽f(n)$ , 就得到 $|a_n-a|<\epsilon$ .

$\mathrm{2.1.4}$ 例题

下面是用适当放大法的两个基本例题.

例题 $2.1.1$

证明数列 $\left\{\frac{n^5}{2^n}\right\}$ 收敛于 $0$.

证明

利用 $2^n=(1+1{)}^n=1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})$ ，在 $n>6$ 时有

$2^n>\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{6}\right)$ , 因此可以放大如下:

$$\frac{n^5}{2^n}<\frac{n^{5}6!}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}<\frac{n^{4}6!}{(n-5{)}^5}.$$

然后在 $n>10$ 时, 将上式最右端表达式中的分母 $(n-5{)}^5$ 用较小的 $(n/2{)}^5$ 代替, 进一步放大为

$$\frac{n^5}{2^n}<\frac{n^{4}6!2^5}{n^5}<\frac{10^5}{n}.$$

可以看出, 为了使最后一个表达式小于 $\epsilon$ , 只要取 $N=\max \{10,[10^5/\epsilon ]\}$ .

初学者要注意, 如果将分子 $n^5$ 换为 $n^{100}$ , 或者 $n$ 的任意次多项式, 结论仍成立. 又如果将分母 $2^n$ 换为 $3^n$ 或 $10^n$ , 结论也成立. 因此就可以知道, 在以 $n$ 为自变量时, 多项式与基数大于 $1$ 的指数函数之比是无穷小量. 从学习数学分析一开始就需要注意各种不同函数之间的极限关系.

在例题 $\mathrm{2.1.1}$ 中的主要工具是二项式展开. 在下一个例题中则用到一个基本不等式, 即在第一章 §$1.3$ 中的算术平均值 $-$ 几何平均值不等式 (即命题 $\mathrm{1.3.3}$). 以下的方法也都可用于证明基本题 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{b}=1(b>0)$ (证明从略).

例题 $2.1.2$

证明数列 $\{\sqrt[n]{n}\}$ 的极限是 $1$ .

证法一

在 $n⩾2$ 时, 我们有

$$1⩽\sqrt[n]{n}={\left(\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}\cdot \underset{n-2\text{个}1}{\underbrace{1\cdot 1\cdot \cdots \cdot 1}}\right)}^{\frac{1}{n}}<\frac{2\sqrt{n}+n-2}{n}<1+\frac{2}{\sqrt{n}},$$

因此得到估计

$$0⩽\sqrt[n]{n}-1<\frac{2}{\sqrt{n}}.$$

对于给定的 $\epsilon >0$ , 取 $N=\max \{2,[4/{\epsilon }^2]\}$ 即可.

证法二

本题也可以用类似于例题 $\mathrm{2.1.1}$ 的方法来证明. 由于 $\sqrt[n]{n}⩾1$ , 只要关心不等式 $\sqrt[n]{n}-1<\epsilon$ . 令 $y_n=\sqrt[n]{n}-1$ , 则 $y_n⩾0$ 成立, 且当 $n>1$ 时有

$$n=(1+y_n{)}^n⩾\frac{n(n-1)}{2}{y}_n^2.$$

从这个不等式解出 $y_n$ ，就找到了在 $n>1$ 时的“适当放大”：

$$\sqrt[n]{n}-1=y_n⩽\sqrt{\frac{2}{n-1}},$$

因此取 $N=[2/{\epsilon }^2]+1$ 即可.

请读者注意, 以上两个基本例题还有很多解法 (即一题多解). 例如用后面的单调有界数列的收敛定理或 $Stolz$ 定理都可以解决这两个问题.

$2.1.5$ 练习题

$1$. 按极限定义证明:

$(1)$ ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3n^2}{n^2-4}=3;$

$(2)$ ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\sin n}{n}=0;$

$(3)$ ${\lim }_{n\to \infty }(1+n{)}^{\frac{1}{n}}=1;$ $(4)$ ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a^n}{n!}=0(a>0).$

$2$. 设 $a_n⩾0,n\in {\mathbf{N}}_{+}$ , 数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ , 证明 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt{a_n}=\sqrt{a}$ .

$3$. 若 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ ，证明 ${\lim }_{n\to \infty }|a_n|=|a|$ . 反之如何？

$4$. 下面一组题在本章的许多极限计算中有用 (并与第五章的连续性概念有关):

$(1)$ 设 $p(x)$ 是 $x$ 的多项式. 若 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a,$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }p(a_n)=p(a);$

$(2)$ 设 $b>0$ , ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ , 证明 ${\lim }_{n\to \infty }{b}^{a_n}=b^a$ ;

$(3)$ 设 $b>0,\{a_n\}$ 为正数列， ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a,a>0$ ，证明 ${\lim }_{n\to \infty }{\log }_b{a}_n={\log }_{b}a;$

$(4)$ 设 $b$ 为实数, $\{a_n\}$ 为正数列, ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a,a>0$ , 证明 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n^b=a^b$ ;

$(5)$ 设 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a,$ 证明 ${\lim }_{n\to \infty }\sin a_n=\sin a.$

(例如上面提到过的题: 若 $b>0$ , 则 ${\lim }_{n\to \infty }{b}^{\frac{1}{n}}=1$ . 它是第 $(2)$ 题的特例.)

$5$. 设 $a>1$ , 证明 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\log }_{a}n}{n}=0$ .

(可以利用已知极限 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1.$ )