21.6 对于教学的建议

§$21.6$ 对于教学的建议

$21.6.1$ 学习要点

$1$. 在解有关几何的习题中, 许多学生惧怕“方向”, 如切向、法向等, 到了曲线、曲面积分部分更是如此. 要从这一章起开始培养学生用数学分析处理空间问题的兴趣和信心. 几何应用方面的习题可以参考 [$25$, $55$] 的 §$6.5$.

$2$. $Taylor$ 公式是微分学应用的基础. 用向量与矩阵的语言叙述和运用 $Taylor$ 公式也许一上来要多费些时间, 但从长远来看是非常值得的.

$3$. 极值问题 (包括条件极值、条件最值) 是本章的一个重点, 材料十分丰富, 我们在很多地方加进了自己的学习体会. 一些重要的应用问题, 如距离问题、面积问题和不等式等是研究生入学试题中的常客. $\mathrm{21.4.4}$ 小节中许多练习题选自实际试题, 可用于考研复习. 还可以参考 [$25$, $55$] $\mathrm{6.7.4}$ 小节中的许多应用题.

$4$. 对习题课的建议 现在有一种不好的苗头是削减多元微积分的课时, 有些老师把多元微积分上成了单纯的“计算”课. 但实际上多元微积分中包含了极为丰富的数学思想和解题技巧. 它所体现的综合性、空间性、应用性也不可能被一元微积分所替代. 本章集中了多元微分学应用最重要的一些内容, 在习题课安排上要给予充分的时间保证, 让学生逐步形成使用微分学工具描述、处理多维问题的能力. 由于向量与矩阵是处理多维问题最基本的数学工具, 在训练中, 要有意识地引导学生使用这些工具. 可多举一些结合高等代数知识的例子.

在解条件极值问题时，除认真分析目标函数、限制条件，正确写出 $Lagrange$ 函数外，对如何快速准确地求出结果，要注意两点．下面以例题 $\mathrm{21.4.2}$ 为例说明：

($1$) 在令偏导数为 $0$, 解代数方程组求驻点时, 要充分利用方程组的特点. 在例题 $\mathrm{21.4.2}$ 中, ($21.15$)—($21.19$) 是 $5$ 个方程, $5$ 个未知量的方程组. 如果不充分利用方程组的特点, 是很难解出的. 一般来说首先像例题中那样得到表达式 ($21.20$);

($2$) 在解方程组 ($21.15$)—($21.19$) 时, 不需要将全部 $5$ 个未知量都解出. 事实上由 ($21.20$) 知只需要将 $\lambda$ 求出即可.

$21.6.2$ 参考题

第一组参考题

$1$. 曲面 $z=z(x,y)$ 由方程 $F\left(\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 确定，其中 $a,b,c$ 为常数。证明：

($1$) 曲面的切平面经过定点 $(a,b,c)$ ;

($2$) 函数 $z=z(x,y)$ 满足方程

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}\cdot \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}-{\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}\right)}^2=0.$$

$2$. 在平面上给定一个边长为 $a,b,c$ 的三角形，在它上面可作无数个等体积的给定高 $h$ 的三棱锥，在其中求出有最小侧面积 $S$ 的那一个.

$3$. 设 $u=f(x,y,z)$ 为二次可微函数，记 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 为方向 $l$ 的方向余弦。求 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial l^2}=\frac{\partial }{\partial l}\left(\frac{\partial u}{\partial l}\right)$ .

$4$. 设 $u=f(x,y,z)$ 为二次可微函数, $l_i=(\cos {\alpha }_i,\cos {\beta }_i,\cos {\gamma }_i)$ , $i=1,2,3$ 为三个互相垂直的单位向量, 证明:

$${\left(\frac{\partial u}{\partial l_1}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial l_2}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial l_3}\right)}^2={\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)}^2;$$$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial l_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial l_2^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial l_3^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2};\text{\hspace{1em}(2)}$$

($3$) 若 $\frac{\partial f}{\partial l_i}=0,i=1,2,3,$ 则 $f(x,y,z)$ 在 ${\mathbf{R}}^3$ 中恒为常数.

$5$. 设 $f$ 在 $O_{\delta }(x_0)\subset {\mathbf{R}}^n$ 上连续, 在 $O_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}$ 可微, 证明:

($1$) 如果 $\forall x\in O_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}$ , 有 $(x-x_0)\cdot \nabla f(x)<0$ , 则 $x_0$ 是 $f$ 的一个极大值点;

($2$) 如果 $\forall x\in O_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}$ , 有 $(x-x_0)\cdot \nabla f(x)>0$ , 则 $x_0$ 是 $f$ 的一个极小值点.

$6$. 设 $f$ 在 $O_{{\delta }_0}(x_0)\subset {\mathbf{R}}^n$ 上二次连续可微, $Hesse$ 矩阵 $\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x_0)\right)$ 为正定阵, $\nabla f(x_0)=0$ . 证明: $\exists \delta \in (0,{\delta }_0)$ , 使 $(x-x_0)\cdot \nabla f(x)>0,\forall x\in O_{\delta }(x_0)\setminus \{x_0\}$ .

$7$. 用条件极值的方法证明 $H\ddot{o}lder$ 不等式:

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i⩽{\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^q\right)}^{\frac{1}{q}},$$

其中 $a_i⩾0,x_i⩾0,i=1,2,\cdots ,n;p,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

$8$. 证明: 二次型

$$f(x,y,z)=A{x}^2+B{y}^2+C{z}^2+2Dyz+2Ezx+2Fxy$$

在单位球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上的最大值与最小值恰好是矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}A& F& E\\ F& B& D\\ E& D& C\end{array}\right)$$

的最大特征值与最小特征值.

$9$. 设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵，且设 ${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}^2=H_i,i=1,2,\cdots ,n,$ 其中 $H_1,H_2,\cdots ,H_n$ 是 $n$ 个确定的非负实数.

($1$) 证明: 如果矩阵 $A$ 的行向量是 $R^n$ 中两两正交的向量, 则 $(\det A{)}^2$ 取到极值;

($2$) 根据等式 $(\det A{)}^2=\det A\cdot \det A^{\mathrm{T}}$ ，其中 $A^T$ 是矩阵 $A$ 的转置矩阵，证明： $\max \left\{{\left(\det A\right)}^2\right\}=H_1\times H_2\times \cdots \times H_n;$

($3$) 证明: 对任意的矩阵 $B=(b_{ij})$ 有 $Hadamard$ 不等式

$$(\det B{)}^2⩽\prod _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^n{b}_{ij}^2\right);$$

($4$) 给 $Hadamard$ 不等式以直观的几何解释.

$10$. 设 $u(x,y)$ 在 $x^2+y^2⩽1$ 上连续，在 $x^2+y^2<1$ 上满足 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=u$ ，则

($1$) 若在 $x^2+y^2=1$ 上 $u(x,y)⩾0$ ，证明：当 $x^2+y^2⩽1$ 时， $u(x,y)⩾0;$

($2$) 若在 $x^2+y^2=1$ 上 $u(x,y)>0$ , 证明: 当 $x^2+y^2⩽1$ 时, $u(x,y)>0$ .

$11$. 对多元函数极值的充分性定理给出详细的证明.

$12$. 仿照 $\mathrm{21.4.2}$ 小节对具有多个约束条件的条件最值的确定给出详细的讨论.

第二组参考题

$1$. 设二次连续可微函数 $f$ 在点 $p_0$ 处的梯度为零向量, 但 $Hesse$ 矩阵 $Q$ 为非零矩阵. 证明: $f$ 在 $p_0$ 处的函数值增长最快的方向位于 $Q$ 的最大特征值对应的特征子空间中. 如最大特征值对应的特征子空间为一维空间, 则相应的方向就是 $f$ 增长最快的方向.

$2$. 设 ${\mathbf{R}}^3$ 中的光滑曲线段 $L$ 的参数表达式为

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t),t\in [a,b].$$

$P(x(a),y(a),z(a))$ , $Q(x(b),y(b),z(b))$ 为 $L$ 的起点与终点. $\Pi$ 是通过直线段 $PQ$ 的任一平面. 证明: $\exists \xi \in (a,b)$ , 使得向量 $(x^{\prime }(\xi ),y^{\prime }(\xi ),z^{\prime }(\xi ))$ 与 $\Pi$ 平行.

$3$. ($Sanderson$ (桑德森) 中值定理) 设 $f:[a,b]\to R^m$ 为 $k$ 次可微向量值函数，并且非零向量 $v$ 与 $f(a),f(b)$ 及 $f^{(j)}(a),j=1,2,\cdots ,k-1$ 正交。证明： $\exists \xi \in (a,b)$ ，使 $v$ 与 $f^{(k)}(\xi )$ 正交。其中 $f^{(j)}$ 表示 $f$ 的各个分量函数的 $j$ 阶导数组成的向量。

$4$. 证明：与曲面 $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2=1(abc\ne 0)$ 相切的三个互相垂直的平面的交点在球面 $x^2+y^2+z^2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ 上.

$5$. 设曲面 $\Sigma :z=f(x,y),(x,y)\in D$ 的每一点的法线与 $z$ 轴相交, 其中 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中的圆环或圆盘, $f$ 是 $C^1$ 函数. 证明: $\Sigma$ 是一个旋转曲面.

$6$. 证明: 不等式

$$2ab⩽{\mathrm{e}}^{a-1}+a\ln a+{\mathrm{e}}^{b-1}+b\ln b$$

对所有 $a>0,b>0$ 成立. 并求出等式成立的充分必要条件.

$7$. 设 $T:u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$ 是平面上的一个变换. 如果在该变换下任何两条相交曲线的交角保持不变, 则称该变换是保角的.

($1$) 如果 $\phi$ 与 $\psi$ 满足 ${\phi }_x={\psi }_y,{\phi }_y=-{\psi }_x,$ 则 $T$ 是保角变换；

($2$) 证明: 下面的反演变换是保角的

$$\xi =\frac{x}{x^2+y^2},\eta =\frac{y}{x^2+y^2};$$

($3$) 证明: 任一圆的反演像是另一圆或直线;

($4$) 求出反演变换的 $Jacobi$ 行列式;

($5$) 证明: 连续可微变换 $T$ 是保角的充分必要条件是它满足 $Cauchy-Riemann$ 方程

$${\phi }_x={\psi }_y,{\phi }_y=-{\psi }_x\text{或}{\phi }_x=-{\psi }_y,{\phi }_y={\psi }_x.$$

第一种情况保持角度方向, 第二种情况角度反向.

$8$. 由公式

$$\xi =\frac{x}{x^2+y^2+z^2},\eta =\frac{y}{x^2+y^2+z^2},\zeta =\frac{z}{x^2+y^2+z^2}$$

定义三维反演变换.

($1$) 证明: 任何两个曲面之间的夹角在反演变换下不变;

($2$) 证明: 球面被变换为球面或平面;

($3$) 求变换的 $Jacobi$ 行列式.