§$21.5$ 高维 $Rolle$ 定理

本节可看成多元微分学应用的一个例子，主要材料取自《美国数学月刊》（$1995$）第 $102$ 卷 $243$‑$249$ 页。

首先我们给出如下形式的 $Rolle$ 定理。

命题 $21.5.1$

设函数 $f$ 在 ${\mathbf{R}}^n$ 中的闭球 $\overline{B}(0;r)$ 上连续，在它的边界上等于常值，并且在开球 $B(0;r)$ 上可微，则在球内至少有一个点是函数的临界点（驻点），即存在 $(x_1^{\ast },x_2^{\ast },\cdots ,x_n^{\ast })\in B(0;r)$ ，使 $\nabla f(x_1^{\ast },x_2^{\ast },\cdots ,x_n^{\ast })=0$ 。

证明

如果 $f$ 在 $\overline{B}(0;r)$ 上为常值，结论显然。如果 $f$ 在 $\overline{B}(0;r)$ 上不为常值，则至少有一个最值在内部取到。因此这个最值点就是极值点，从而为 $f$ 的临界点（驻点）。

当 $n=2$ 时，设 $z=f(x,y)$ 表示定义在闭圆盘 $\overline{B}(0;r)$ 上的连续可微曲面 $\Sigma$ 。曲面在点 $(x_0,y_0)$ 处的切平面的法方向是 $\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),\pm 1\right)$ 。上述定理表明存在点 $(x_0,y_0)$ ，使该点的切平面的法方向是 $(0,0,\pm 1)$ 。因而切平面平行于 $\Sigma$ 的边界所在的平面 $z=c$ ，$c$ 为常值。

下面考虑在 $B(0,r)\subset {\mathbf{R}}^n$ 上的可微映射 $F$ 。有如下形式的 $Rolle$ 定理：

命题 $21.5.2$

设 $F:B(0,r)\to {\mathbf{R}}^m$ 可微，在闭球 $\overline{B}(0,r)$ 上连续，且存在非零向量 $v\in {\mathbf{R}}^m$ 使

$$v\cdot F(x)=0\text{ 对任意 }x\in \partial B(0,r)\text{ 成立},\text{\hspace{1em}(21.40)}$$

则存在 $\xi \in B(0,r)$ ，使对任意 $u\in {\mathbf{R}}^n$ 都有

$$\mathbf{v}\cdot J\mathbf{F}(\mathbf{\xi })\mathbf{u}=0.\text{\hspace{1em}(21.41)}$$

几何分析

在给出这个定理的证明之前，先看一下它的几何含义是什么。如果 $n=2,m=3$ ，则 $F$ 就表示定义在圆盘 $\overline{B}(0,r)$ 上的一个双参数曲面 $\Sigma$ 。条件 $(21.40)$ 表明这个曲面在边界位于以 $v$ 为法向量的一个平面 $\Pi$ 上（即法向量与平面的生成向量正交）。然后再分别取 $u=e_1,e_2$ 为 ${\mathbf{R}}^2$ 的标准基，则 $\alpha =JF(\xi )e_1$ 和 $\beta =JF(\xi )e_2$ 就是 $JF(\xi )$ 的两个线性无关的列向量，因此

$$\mathbf{v}\cdot J\mathbf{F}(\mathbf{\xi }){\mathbf{e}}_j=0,j=1,2$$

表明 $v$ 与该两个线性无关向量正交。另一方面，这两个向量正是过 $F(\xi )$ 的切平面 ${\Pi }_{\xi }$ 的生成向量。因此，$v$ 是 ${\Pi }_{\xi }$ 的法向量。也就是说 ${\Pi }_{\xi }$ 与 $\Pi$ 平行。一个定义在圆盘上的双参数可微曲面，如果它在边界上的点都位于一个平面 $\Pi$ 上，则必可在圆盘内部找到一参量 $\xi$ ，使对应于 $\xi$ 的曲面的点的切平面 ${\Pi }_{\xi }$ 与 $\Pi$ 平行。

证明

定义多元函数 $g(x)=v\cdot F(x)$ ，则 $g$ 是 $B(0,r)$ 上的可微函数，在 $\overline{B}(0,r)$ 上连续，并且当 $x\in \partial B(0,r)$ 时，$g(x)=0$ 。因此 $g$ 的最大值和最小值中至少有一个在开球 $B(0,r)$ 中的点 $\xi$ 上取到。从而 $\xi$ 必为 $g$ 的极值点，因此 $\nabla g(\xi )=0$ 。所以，$\forall u\in {\mathbf{R}}^m$ ，有 $\nabla g(\xi )\cdot u=0$ ，即

$$\mathbf{v}\cdot J\mathbf{F}(\mathbf{x})\mathbf{u}=0.$$

注 1

在命题 $\mathrm{21.5.2}$ 中，开球 $B(0,r)$ 可换成任一个有界开区域。

注 2

在命题 $\mathrm{21.5.2}$ 中，条件 $(21.40)$ 可换成：$\exists x_0\in B(0,r)$ ，使

$$v\cdot (F(x)-F(x_0))\text{ 在 }\partial B(0,r)\text{ 上不变号}.$$

注 3

命题 $\mathrm{21.5.2}$ 有很多有趣的几何应用，如本章第二组参考题 $2,3$ 。