$21.2.1$ 方向导数

例题 $21.2.1$

求 $u=x+y+z$ 在沿 $x^2+y^2+z^2=1$ 上点的外法向的方向导数，并问在球面上何点该方向导数取：(1) 最大值；(2) 最小值；(3) 等于 $0$。

解

球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上点的外法向方向为 $(x,y,z)$ ，函数 $u=x+y+z$ 沿 $(x,y,z)$ 方向的方向导数为

$$\frac{\partial u}{\partial l}=\nabla u\cdot (x,y,z)=|\nabla u|\cos \theta =\sqrt{3}\cos \theta ,$$

其中 $\theta$ 是向量 $\nabla u=(1,1,1)$ 与 $(x,y,z)$ 之间的夹角。于是当 $x=y=z>0$ 时，方向导数取最大值 $\sqrt{3}$ ，此时 $x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；当 $x=y=z<0$ 时，方向导数取最小值 $-\sqrt{3},$ 此时 $x=y=z=-\frac{\sqrt{3}}{3};$ 当 $x+y+z=0$ 时，方向导数为 $0$。 □

例题 $21.2.2$

若 ${\mathbf{R}}^2$ 上的可微函数 $f(x,y)$ 满足

$$x{f}_x(x,y)+y{f}_y(x,y)=0,\text{\hspace{1em}(21.3)}$$

则 $f(x,y)$ 恒为常数。

证明

证1 设 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$ 取 $l=(\cos \theta ,\sin \theta )$ ，由 $(21.3)$ 得

$$\frac{\partial f}{\partial l}=\cos \theta f_x(r\cos \theta ,r\sin \theta )+\sin \theta f_y(r\cos \theta ,r\sin \theta )=0.$$

于是在任一从原点出发的射线上的方向导数 $\frac{\partial f}{\partial l}=0$ ，因此 $f(x,y)$ 在该射线上为常数，即

$$f(x,y)\equiv f(0,0).$$

证明

证2 令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$ 由 $(21.3)$ 得

$$\frac{\partial f}{\partial r}=f_x\cos \theta +f_y\sin \theta =0,$$

即 $f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ 与 $r$ 无关。对任意固定的 $\theta$ ，令 $r\to 0^{+}$ ，得

$$f(x,y)=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }f(r\cos \theta ,r\sin \theta )=f(0,0).$$

证明

证3 由 $(21.3)$ 知

$$x{f}_x(x,y)+y{f}_y(x,y)=0=0\cdot f(x,y),$$

由齐次函数的充分必要条件 (命题 $\mathrm{19.3.1}$) 知 $f$ 为零次齐次函数, 于是 $\forall t\in R$ ,

$$f(tx,ty)=t^{0}f(x,y)=f(x,y),$$

于其中令 $t\to 0$ ，得

$$f(x,y)=f(0,0).$$

证明

证4 对任意固定的 $(x,y)\in {\mathbf{R}}^2$ ，定义一元函数

$$\phi (t)=f(tx,ty),t⩾0.$$

则

$${\phi }^{\prime }(t)=x{f}_1(tx,ty)+y{f}_2(tx,ty).$$

于是当 $t>0$ 时, 由 $(21.3)$ 得

$${\phi }^{\prime }(t)=\frac{1}{t}[tx{f}_1(tx,ty)+ty{f}_2(tx,ty)]=0,$$

所以 $\phi (t)$ 为常数。 取 $t=1$ , 则 $\phi (t)\equiv \phi (1)$ 。 即

$$f(tx,ty)=f(x,y).$$

令 $t\to 0$ ，得

$$f(x,y)=f(0,0).$$

为方便起见, 我们在 ${\mathbf{R}}^3$ 中考虑. 设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中的一个区域, $f$ 是定义在 $D$ 上的函数, 点 $p_0\in D$ , $l$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中的一个单位向量. 如果极限

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f({\mathbf{p}}_0+t\mathbf{l})-f({\mathbf{p}}_0)}{t}$$

存在, 则称此极限是函数 $f$ 在点 $p_0$ 处沿方向 $l$ 的方向导数, 记为 $\frac{\partial f}{\partial l}(p_0)$ 。 它表示函数 $f$ 在点 $p_0$ 沿方向 $l$ 的变化率. 特别地, 若 $f$ 在 $p_0$ 处存在关于 $x$ 的偏导数, 则当 $l=(1,0,0)$ 时, $\frac{\partial f}{\partial l}(p_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(p_0)$ ; 当 $l=(-1,0,0)$ 时, $\frac{\partial f}{\partial l}(p_0)=-\frac{\partial f}{\partial x}(p_0)$ 。

命题 $21.2.1$

设函数 $f$ 在点 $p_0$ 可微，则 $f$ 在点 $p_0$ 沿任何方向 $l$ 的方向导数存在，且

$$\frac{\partial f}{\partial l}\left({\mathbf{p}}_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left({\mathbf{p}}_0\right)\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\left({\mathbf{p}}_0\right)\cos \beta +\frac{\partial f}{\partial z}\left({\mathbf{p}}_0\right)\cos \gamma ,\text{\hspace{1em}(21.1)}$$

其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 是方向 $l$ 的方向余弦.

$\mathrm{21.2.2}$ 梯度

设函数 $f$ 定义于某个区域 $D\subset {\mathbf{R}}^3$ 上, 又设 $f$ 具有关于各个变元的偏导数, 称向量

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)\mathbf{k}$$

是 $f$ 在点 $(x,y,z)$ 的梯度，记为 $\mathrm{grad}f(x,y,z)$ 或 $\nabla f(x,y,z)$ 。

由梯度的定义, $(21.1)$ 的方向导数公式可以写为

$$\frac{\partial f}{\partial l}(x,y,z)=\nabla f(x,y,z)\cdot \mathbf{l}=|\nabla f(x,y,z)|\cos \theta ,\text{\hspace{1em}(21.2)}$$

其中 $\theta$ 是向量 $\nabla f(x,y,z)$ 与 $l$ 之间的夹角．由 $(21.2)$ 可以看出在一个固定点 $(x,y,z),f(x,y,z)$ 沿任意方向的方向导数中以沿 $\nabla f$ 的方向导数为最大.其值为 $|\nabla f(x,y,z)|$ 。从而梯度的方向就是函数在该点增加最快的方向.

$\mathrm{21.2.3}$ 练习题

1. 求函数 $u=x^2+y^2+z^2$ 在沿椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 上点 $(x,y,z)$ 处的外法线方向的方向导数.

2. 设 $\frac{\partial u}{\partial n}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial n}$ 为函数 $u$ 和 $v$ 在沿曲面 $F(x,y,z)=0$ 上的点 $(x,y,z)$ 的法线方向 $n$ 的方向导数, 证明:

$$\frac{\partial }{\partial \mathbf{n}}(uv)=u\frac{\partial v}{\partial \mathbf{n}}+v\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}.$$

3. 设 $f(t)$ , $u=u(x,y,z)$ 为可微函数, 证明: $\nabla f(u)=f^{\prime }(u)\nabla u$ .

4. 设 $f(x,y)$ 在点 ${\mathbf{p}}_0(x_0,y_0)$ 处可微, $l_1,l_2,\cdots ,l_n$ 为 $n$ 个单位向量, 相邻的两向量夹角为 $\frac{2\pi }{n}$ 。 证明:

$$\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial l_i}(x_0,y_0)=0.$$

5. 设 $u=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}$ ，其中 $a>b>c>0$。求在点 $(0,0,0)$ 处函数 $u$ 增加最快的方向。

6. 设

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}x-y+\frac{x{y}^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

证明: $f(x,y)$ 在原点处连续, 沿任何方向的方向导数存在, 但不可微.