§21.1 偏导数在几何上的应用

$\mathrm{21.1.1}$ 曲线的切向量、切线与法平面

设空间曲线 $l$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为

$$\mathbf{\tau }=\left({\tau }_x,{\tau }_y,{\tau }_z\right),$$

则曲线 $l$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的切线方程与法平面方程分别是

$$\begin{array}{c}\frac{x-x_0}{{\tau }_x}=\frac{y-y_0}{{\tau }_y}=\frac{z-z_0}{{\tau }_z},\\ {\tau }_x(x-x_0)+{\tau }_y(y-y_0)+{\tau }_z(z-z_0)=0.\end{array}$$

如果空间曲线 $l$ 的参数方程是

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t),a⩽t⩽b,$$

其中 $t$ 是参数. 又设 $x^{\prime }(t)$ , $y^{\prime }(t)$ , $z^{\prime }(t)$ 都在 $[a,b]$ 上连续, 并且不同时为 $0$, 这样的曲线称为光滑曲线. 这时曲线上点 $(x_0,y_0,z_0)=(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$ 的切向量为

$$\tau =(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)).$$

如果空间曲线 $l$ 是用两个曲面

$$F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0$$

的交线来表示的，又设 $F$ 和 $G$ 关于 $x,y,z$ 有连续的偏导数。点 $p_0(x_0,y_0,z_0)$ 满足这一方程组，即 $F(x_0,y_0,z_0)=0,G(x_0,y_0,z_0)=0$ ，并且 $F,G$ 的 $Jacobi$ 矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial F}{\partial x}& \frac{\partial F}{\partial y}& \frac{\partial F}{\partial z}\\ \frac{\partial G}{\partial x}& \frac{\partial G}{\partial y}& \frac{\partial G}{\partial z}\end{array}\right)$$

在点 $p_0$ 的秩为 $2$，则曲线 $l$ 在点 $p_0$ 的切向量为

$$\tau ={\left(\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)},\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)},\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}\right)|}_{p_0}.$$

例题 $21.1.1$

设 $f(x,y)$ 为可微函数, 曲线方程为

$$z=f(x,y),\frac{x-x_0}{\cos \alpha }=\frac{y-y_0}{\sin \alpha }.$$

求曲线上点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 的切线与 $xOy$ 平面所成角的正切.

解答

令 $F(x,y,z)=z-f(x,y),G(x,y,z)=\sin \alpha (x-x_0)-\cos \alpha (y-y_0)$ ，则

$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}=\left|\begin{array}{cc}-f_y& 1\\ -\cos \alpha & 0\end{array}\right|=\cos \alpha ,\frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}=\left|\begin{array}{cc}1& -f_x\\ 0& \sin \alpha \end{array}\right|=\sin \alpha ,$$$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}-f_x& -f_y\\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right|=f_x\cos \alpha +f_y\sin \alpha .$$

于是曲线上点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 的切线与 $z$ 轴正方向所成夹角 $\phi$ 的余弦为

$$\cos \phi =\frac{f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\sin \alpha }{\sqrt{1+[f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\sin \alpha {]}^2}}.$$

由此可计算出切线与 $xOy$ 平面所成角的正切为

$$f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\sin \alpha .$$

$\mathrm{21.1.2}$ 曲面的法向量、法线与切平面

光滑曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y,z)$ 处的法向量为

$$\mathbf{n}=\pm (f_x(x,y),f_y(x,y),-1).$$

这里所说的光滑是指偏导数连续.

由 $F(x,y,z)=0$ 确定的光滑曲面在 $(x,y,z)$ 处的法向量为

$$\mathbf{n}=\pm (F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)),$$

其中 $F_x,F_y,F_z$ 不同时为零.

由参数方程

$$x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)$$

决定的光滑曲面在点 $(x,y,z)$ 的法向量为

$$\mathbf{n}=\pm \left(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right).$$

有了法向量之后, 过曲面上任一点的法线方程和切平面方程都很容易写出来.

例题 $21.1.2$

求曲面

$$x=u+v,y=u^2+v^2,z=u^3+v^3$$

的切平面当切点 $M(u,v)$ ， $u\ne v$ ，趋于曲面的边界 $u=v$ 上的点 $M_0(u_0,v_0)$ 时的极限位置.

解答

先求 $u\ne v$ 时的切平面方程. 由于

$$\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}2u& 2v\\ 3u^2& 3v^2\end{array}\right|=6uv(v-u),\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}3u^2& 3v^2\\ 1& 1\end{array}\right|=3(u^2-v^2),$$$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2u& 2v\end{array}\right|=2(v-u),$$

于是过 $(x,y,z)$ 点的切平面方程为

$$\begin{array}{rl}& 6uv(v-u)(X-(u+v))+3(u^2-v^2)(Y-(u^2+v^2))\\ & +2(v-u)(Z-(u^3+v^3))=0.\end{array}$$

消去 $v-u$ ，并整理得到

$$6uvX-3(u+v)Y+2Z=3uv(u+v)-u^3-v^3.$$

令 $(u,v)\to (u_0,u_0)$ ，则有

$$6u_0^{2}X-6u_{0}Y+2Z=4u_0^3.$$

将 $(X,Y,Z)$ 改写为 $(x,y,z)$ ，可见所求的极限位置为

$$3u_0^{2}x-3u_{0}y+z=2u_0^3.$$

$\mathrm{21.1.3}$ 曲线的夹角、曲面的夹角

由解析几何知 ${\mathbf{R}}^2$ 中两个相交向量 $l$ 与 $m$ 所交的角 $\omega$ 的余弦为

$$\cos \omega =\frac{l\cdot m}{|l|\cdot |m|},$$

其中“$\cdot$”为 $Euclid$ 内积， $|\cdot |$ 为 $Euclid$ 范数．设连续可微的隐函数定义的曲线 $F(x,y)=0$ 与 $G(x,y)=0$ 在 $(x,y)$ 处相交.则在 $(x,y)$ 处两曲线相应的切向量分别为 $(F_y,-F_x)$ 与 $(G_y,-G_x)$ ，其夹角余弦为

$$\cos \omega =\frac{F_x{G}_x+F_y{G}_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2}\cdot \sqrt{G_x^2+G_y^2}}.$$

两曲线正交的条件是： $F_x{G}_x+F_y{G}_y=0$

在 ${\mathbf{R}}^3$ 中也有类似的讨论. 设 $F(x,y,z)=0$ 与 $G(x,y,z)=0$ 为 ${\mathbf{R}}^3$ 中两光滑曲面. 它们在 $(x,y,z)$ 处相交. 两曲面夹角定义为相应切平面的夹角 (或相应法向量的夹角). 设 $\omega$ 为其夹角, 则有

$$\cos \omega =\frac{F_x{G}_x+F_y{G}_y+F_z{G}_z}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}\cdot \sqrt{G_x^2+G_y^2+G_z^2}}.$$

两曲面正交的条件是： $F_x{G}_x+F_y{G}_y+F_z{G}_z=0$

例题 $21.1.3$

设

$$\frac{xy}{z}=u,\sqrt{x^2+z^2}+\sqrt{y^2+z^2}=v\text{和}\sqrt{x^2+z^2}-\sqrt{y^2+z^2}=w$$

是三个分别以 $u,v,w$ 为参数的单参数曲面族, 证明: 过同一点的三曲面族的三个曲面是两两正交的.

证明

设三曲面交于点 $(x,y,z)$ 处，其法向量分别为

$$\begin{array}{l}\left(\frac{y}{z},\frac{x}{z},-\frac{xy}{z^2}\right),\\ \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}+\frac{z}{\sqrt{y^2+z^2}}\right),\\ \left(\frac{x}{\sqrt{x^2+z^2}},-\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+z^2}}-\frac{z}{\sqrt{y^2+z^2}}\right).\end{array}$$

由于这三个向量的两两内积均为 $0$，所以过 $(x,y,z)$ 点的这三个曲面族的三个曲面是两两正交的.

$\mathrm{21.1.4}$ 练习题

$1$. 在曲线 $x=t,y=t^2,z=t^3$ 上求出一点，使该点的切线平行于平面 $x+2y+z=4$ .

$2$. 证明：斜驶线

$$\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\psi }{2}\right)={\mathrm{e}}^{k\phi },k=\text{常数},$$

与地球的每一条子午线相交成定角, 其中 $\phi$ 为地球上点的经度, $\psi$ 为地球上点的纬度.

$3$. 求曲线 $x^2+y^2+z^2=6,x+y+z=0$ 在点 $(1,-2,1)$ 处的切线与法平面方程.

$4$. 求曲面 $z=\arctan \frac{y}{x}$ 在点 $\left(1,1,\frac{\pi }{4}\right)$ 处的法线与切平面方程.

$5$. 证明：曲面 $xyz=a^3(a>0)$ 的每一个切平面与坐标面形成体积相同的四面体.