$§20.5$ 对于教学的建议

例20.5.1

设 $z=z(x,y)$ 二阶连续可微，在微分方程

$$\frac{1}{(x+y{)}^2}\left(\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}\right)-\frac{1}{(x+y{)}^3}\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}\right)=0$$

中，作变量代换

$$u=xy,v=x-y.\text{\hspace{1em}(20.26)}$$

求变换后的方程.

注意到方程中的导数部分, 第一部分是 ${\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)}^2$ , 第二部分是 $\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}$ . 于是只要求出在变量替换 (20.26) 下 $\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}$ 的表达式即可.

解

利用链式求导法则得到

$$z_x=z_u{u}_x+z_v{v}_x=y{z}_u+z_v,z_y=z_u{u}_y+z_v{v}_y=x{z}_u-z_v.$$

两式相加得

$$\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)z=(x+y)\frac{\partial z}{\partial u}.\text{\hspace{1em}(20.27)}$$

于是我们得到在变换(20.26)之下有

$$\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}=(x+y)\frac{\partial }{\partial u}.\text{\hspace{1em}(20.28)}$$

在(20.27)两边再作用算子 $\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}$ ，并利用(20.28)，则

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}z& =\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)\left[(x+y)\frac{\partial z}{\partial u}\right]\\ & =\left[\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)(x+y)\right]\frac{\partial z}{\partial u}+(x+y)\left(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)\frac{\partial z}{\partial u}\\ & =2\frac{\partial z}{\partial u}+(x+y{)}^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u^2}.\end{array}\text{\hspace{1em}(20.29)}$$

将(20.27)，(20.29)代入原微分方程中，则得到

$$\frac{1}{(x+y{)}^2}\left[2\frac{\partial z}{\partial u}+(x+y{)}^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u^2}\right]-\frac{1}{(x+y{)}^3}(x+y)\frac{\partial z}{\partial u}=0,$$

加以整理并将(20.26)代入得

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u^2}+\frac{1}{v^2+4u}\frac{\partial z}{\partial u}=0,$$

即已将原方程化为 $v$ 作参数的二阶线性常微分方程.

例20.5.2

设方程

$$a\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+2b\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+c\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0,$$

其中 $a,b,c$ 都是常数， $b^2-ac=0,c\ne 0$ ，作代换

$$u=x+\alpha y,v=x+\beta y.\text{\hspace{1em}(20.30)}$$

问如何选择 $\alpha ,\beta ,$ 能使代换后的方程有简单的形式？

解

不妨设 $c=1$ ，则 $a=b^2$ ，于是原方程变为

$${\left(b\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{2}z=0.$$

若 $b=0$ 则原方程已是最简形式. 以下设 $b\ne 0$ , 则我们的任务是在 (20.30) 中适当选取 $\alpha ,\beta ,$ 使得

$$b\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial u}.\text{\hspace{1em}(20.31)}$$

由(20.30)得

$$\frac{\partial }{\partial x}=\frac{\partial }{\partial u}+\frac{\partial }{\partial v},$$$$\frac{\partial }{\partial y}=\alpha \frac{\partial }{\partial u}+\beta \frac{\partial }{\partial v}.$$

明显地只要取 $\beta =-b,\alpha =1-b,$ 则 (20.31) 成立. 此时原方程化为

$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial u^2}=0.\text{\hspace{1em}(20.32)}$$

事实上，只要取 $\beta =-b,\alpha \ne -b$ ，则 (20.32) 仍成立.

$\mathrm{20.5.1}$ 学习要点

$1$. 隐函数 (组) 的概念和存在定理的证明对于初学者来说都不容易掌握. 最基本的要求是理解隐函数 (组) 的概念, 能叙述隐函数 (组) 存在定理并了解隐函数存在定理的证明.

$2$. 求隐函数 (组), 反函数 (组) 的导数和用变量代换去计算微分表达式的一个重要环节是分析哪些变量是自变量, 哪些是因变量. 很多学生在解题时不重视这个环节, 这是他们不会做题或出错的真正原因. 关于变量代换的计算方法与大量实例还可以参看 [$55$] 第三册的 $\S 6.4$.

$3$. 对于习题课的建议 告诉学生求隐函数的导数以及变量替换时, 首先要搞清楚自变量、因变量与它们的相互关系. 其次是要有耐心. 在求二阶以上导数时, 极易漏项. 可从学生作业中找出共同性的问题, 进行评讲. 处理繁琐题目的耐心也是一种基本的数学素养.

对于计算, 也绝非无技巧可言. 下面的两个例题用引入简单的微分算子的方法, 对我们会有所启发.

$\mathrm{20.5.2}$ 参考题

第一组参考题

$1$. 设 $f(x,y)$ 在点 $(0,1)$ 附近连续可微，且 $f_y(0,1)\ne 0,f(0,1)=0$ . 证明：

$f(x,{\int }_0^t\sin x\mathrm{d}x)=0$ 在点 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 附近确定一个隐函数 $t=\phi (x)$ ，并求 ${\phi }^{\prime }(0)$ .

$2$. 证明：由方程 $y=x+\frac{1}{2}\sin y$ 可在 $(-\infty ,+\infty )$ 中确定隐函数 $y=y(x)$ ，且 $y(x)\in C^{\infty }(\mathbf{R})$ ，即 $y(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的无穷次可微函数.

$3$. 设 $x=y+\phi (y),\phi$ 满足 $\phi (0)=0,{\phi }^{\prime }(y)$ 在 $(-a,a)$ 中连续，且 $|{\phi }^{\prime }(0)|⩽k<1$ . 证明：存在 $\delta >0$ ，使当 $-\delta <x<\delta$ 时有惟一可微函数 $y=y(x)$ 满足方程 $x=y+\phi (y)$ 且 $y(0)=0$ .

$4$. 证明：方程 $F(x,y)=1-{\mathrm{e}}^{-x}+y^3{\mathrm{e}}^{-y}=0$ 在 $\{x>0,y\in {\mathbf{R}}^1\}$ 中存在惟一解 $y=y(x)(x>0)$ ，且 $y(x)$ 连续可微.

$5$. 设 $f(x,y)$ 满足: $f_x$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上存在, $f_y$ 在 ${\mathbf{R}}^2$ 上存在且连续, 且

$$\left|f_x\right|<M\left|f_y\right|,f(x_0,y_0)=0,$$

这里 $M$ 是正常数．证明： $f(x,y)=0$ 惟一确定一个定义在 $\mathbf{R}$ 上的可微解 $y=y(x)$ ，且满足 $y(x_0)=y_0$ 再问条件 $|f_x|<M|f_y|$ 是否是必要的？若去掉 $f(x_0,y_0)=0$ 这个条件，结论是否仍成立？

$6$. 设 $u=f(x,y)$ , $v=g(x,y)$ 在区域 $\Omega \subset {\mathbf{R}}^2$ 上有连续偏导数. 证明:

(1) 如果在 $\Omega$ 上的 $Jacobi$ 矩阵的秩恒等于 $1$, 则对 $\Omega$ 内任一点 $(x_0,y_0)$ , 存在 $(x_0,y_0)$ 的邻域 $U$ 和连续可微的函数 $F(u,v)$ , $(F_u^{\prime }{)}^2+(F_v^{\prime }{)}^2\ne 0$ , 使 $F(f(x,y),g(x,y))=0$ 在 $U$ 上恒成立;

(2) 若有连续可微函数 $F(u,v),(F_u^{\prime }{)}^2+(F_v^{\prime }{)}^2\ne 0$ ，使 $F(f(x,y),g(x,y))=0$ 在 $\Omega$ 上恒成立，则

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\equiv 0,(x,y)\in \Omega .$$

$7$. 设空间曲线 $C$ 的方程是:

$$x=f(t),y=\phi (t),z=\frac{f^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)},-1<t<1,$$

其中 $f,\phi$ 在 $(-1,1)$ 上有二阶连续导数，且一阶导数处处不等于 $0$. 设点集

$$E=\{(x,y,z)\mid x=s^2+\frac{f^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}s+f(t),$$ $$y=2s+\phi (t),z=\frac{f^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)},s,t\in (-1,1)\}.$$

证明： $E$ 中与曲线 $C$ 充分接近（即 $|s|$ 充分小）的一些点，组成一张连续曲面 $z=z(x,y)$

$8$. 设函数 $f(x,y),g(x,y)$ 是定义在平面开区域 $G$ 上的两个函数，在 $G$ 上均有连续的一阶偏导数，且在 $G$ 内任意点处均有

$$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial g}{\partial x}\ne 0.$$

又设有界闭区域 $D\subset G$ . 证明: 在 $D$ 中满足方程组

$$f(x,y)=0,g(x,y)=0$$

的点至多有有限个.

$9$. 设 $f$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 上的连续可微函数. 若 $f(x,y,z)=0$ , 则 $\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial z}=-1$ .

(1) 解释上述命题的精确含义;

(2) 对 $Clapeyron$ (克拉佩隆) 公式 $\frac{P\cdot V}{T}=$ 常数, 验证上述命题的正确性;

(3) 对于 $n$ 元连续可微函数 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 确定的关系式 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=0$ 是否有上述类似公式？验证你的判断.

$10$. 设 $f:R^2\to R^2$ 为 $C^1$ 映射. 若只存在有限多个点 $x_1,x_2,\cdots ,x_r$ ，使得 $\det Jf(x_i)=0,i=1,2,\cdots ,r$ ，并且对每个正数 $M$， $\{z\in R^2\mid |f(z)|⩽M\}$ 是有界集，证明：$f$ 把 $R^2$ 映满 $R^2$ .

$11$. 设 $f:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^n$ 为 $C^1$ 映射, 且 $Jf(x_0)$ 可逆. 证明: $\forall x\in {\mathbf{R}}^n$ , 只要 $|x|$ 充分小, 就存在 $z\in {\mathbf{R}}^n$ , $z=o(|x|)$ , 使得

$$f(x_0+x+z)-f(x_0)-Jf(x_0)x=0.$$

第二组参考题

$1$. 试用压缩映射原理证明如下局部微分同胚定理: 设 $U$ 是 $R^n$ 的开集, $f:U\to R^n$ 是 $C^k$ 映射, $x_0\in U$ , $\det Jf(x_0)\ne 0$ . 则存在 $x_0$ 的邻域 $W\subset U$ 和 $f(x_0)$ 的邻域 $V$, 使得 $f:W\to V$ 是 $C^k$ 微分同胚.

$2$. 设 $f:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^n$ 是 $C^1$ 映射, 且存在 $\alpha >0$ 使 $\forall x\in {\mathbf{R}}^n$ 有

$${\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\cdot J\mathbf{f}(\mathbf{x})\cdot \mathbf{u}⩾\alpha |\mathbf{u}{|}^2,\forall \mathbf{u}\in {\mathbf{R}}^n,$$

其中 $u^T$ 表示 $u$ 的转置. 证明:

$$|f(x)-f(y)|⩾\alpha |x-y|,\forall x,y\in {\mathbf{R}}^n,$$

且 $f$ 是 $R^n$ 上的微分同胚.

$3$. 用映射的语言叙述隐函数组存在定理, 将它化为逆映射存在定理或直接用压缩映射原理证明.

$4$. $\mathrm{20.2.4}$ 小节的逆映射存在性证明是构造性的, 它给出了逆映射的迭代构造格式. 设 $y\in V$ , 取合适的初始点 $x_0\in U$ , 则

$${\mathbf{x}}_n={\mathbf{x}}_{n-1}+({\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{a}){)}^{-1}(\mathbf{y}-\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{n-1}))$$

就给出了迭代列 $\{x_n\}$ 的公式. 讨论映射

$$\mathbf{T}:u=\frac{1}{2}(x^2-y^2),v=xy$$

的逆映射. 设 $\mathbf{a}=(1,1{)}^{\mathrm{T}}$ . 先求

$${\mathbf{T}}^{\prime }(\mathbf{a})={\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right)|}_{(x,y)=(1,1)},$$

再利用迭代公式

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_n}{y_n}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_{n-1}}{y_{n-1}}\right)+({\mathbf{T}}^{\prime }(\mathbf{a}){)}^{-1}\left[\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{v}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}(x_{n-1}^2-y_{n-1}^2)}{x_{n-1}{y}_{n-1}}\right)\right]$$

在 $a$ 的邻域内求 $T^{-1}$ 的二次迭代解 $(x_2,y_2{)}^{\mathrm{T}}$ ，并用它与逆映射的一次微分近似

$${\mathbf{T}}^{-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{v}\right)\approx \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)+{\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)}^{-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{u}{v-1}\right)$$

作比较.

$5$. 设 $U$ 是 $R^m$ 的开集, $f:U\to R^n$ 是 $C^k$ 映射, 满足条件:

$$f(0)=0,Jf(0)\text{的秩为}m(m⩽n).$$

证明：存在 $R^n$ 中含 $0$ 的两个邻域 $V$ 及 $W$, $C^k$ 微分同胚 $h:V\to W$ 使得 $h(0)=0$ ，并且

$$\mathbf{h}\circ \mathbf{f}(x_1,x_2,\dots ,x_m)=(x_1,x_2,\dots ,x_m,0,0,\dots ,0),\forall (x_1,x_2,\dots ,x_m)\in {\mathbf{f}}^{-1}(V).$$

$6$. 设 $U$ 是 $R^m$ 的开集, $f:U\to R^n$ 是 $C^k$ 映射, 满足条件:

$$f(0)=0,Jf(0)\text{的秩为}n(m⩾n).$$

证明：存在 ${\mathbf{R}}^m$ 中含 $0$ 的两个邻域 $V$ 及 $W$, $C^k$ 微分同胚 $\phi :V\to W$ 使得 $\phi (0)=0$ ，并且

$$\mathbf{f}\circ \phi (x_1,x_2,\dots ,x_m)=(x_1,x_2,\dots ,x_n),\forall (x_1,x_2,\dots ,x_m)\in V.$$

(以上两个命题称为秩定理, 如何对它们作一个简单的几何解释?)

第二十一章 偏导数的应用

本章介绍偏导数在几个方面的应用. $\S 21.1$ 是偏导数在几何上的应用. $\S 21.2$ 是方向导数与梯度. $\S 21.3$ 讨论 $Taylor$ 公式与极值问题. $\S 21.4$ 是条件极值与条件最值. $\S 21.5$ 是向量值函数的 $Rolle$ 定理, 这可以作为习题课的补充材料. 最后一节是学习要点和两组参考题.

我们在本章的讨论中特别强调用向量与矩阵语言描述和处理多元问题, 对条件最值的求解作了比较详细的讨论.