§$20.4$ 隐函数及隐函数组的整体存在性

隐函数的整体存在性是一个比较复杂的问题. 设 $F(x,y)$ 在 $D=(a,b)\times (c,d)$ 上连续, $F_y(x,y)\ne 0$ , $(x,y)\in D$ . 于是在 $D$ 中每一点附近方程 $F(x,y)=0$ 可惟一确定一个隐函数 $y=f(x)$ . 但我们不知道当 $y$ 在 $(c,d)$ 变化时, 满足方程的 $x$ 是否会布满 $(a,b)$ . 所以我们并不清楚隐函数 $y=f(x)$ 是否可定义在 $(a,b)$ 上. 在很多时候 $y=f(x)$ 不能定义在 $(a,b)$ 上. 读者可考察例子 $F(x,y)=y-2x$ , $D=(-1,1)\times (-1,1)$ . 下面是隐函数整体存在的一个充分性命题.

命题 $20.4.1$

设 $F(x,y)$ 在 $D=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid a<x<b,-\infty <y<+\infty \}$ 中连续, $F_y$ 处处存在且 $F_y⩾m>0$ , 则 $F(x,y)=0$ 在 $(a,b)$ 中存在惟一连续解 $y=f(x)$ .

证明

证 $\forall x_0\in (a,b)$ ，对任意 $y_2>y_1$ ，考虑

$$F(x_0,y_2)-F(x_0,y_1)=F_y(x_0,\xi )(y_2-y_1)⩾m(y_2-y_1).$$

固定 $y_1$ ，令 $y_2\to +\infty$ ，由 $F(x_0,y_2)⩾F(x_0,y_1)+m(y_2-y_1)$ ，知

$$\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x_0,y)=+\infty .$$

固定 $y_2$ ，令 $y_1\to -\infty$ ，由 $F(x_0,y_1)⩽F(x_0,y_2)-m(y_2-y_1)$ ，知

$$\underset{y\to -\infty }{\lim }F(x_0,y)=-\infty .$$

由介值定理, 存在 $y_0\in \mathbf{R}$ (且是惟一的), 使得 $F(x_0,y_0)=0$ . 由 $x_0$ 的任意性知存在 $y=f(x)$ , 使得 $F(x,f(x))=0,x\in (a,b)$ .

至此已证明了 $y=f(x)$ 的存在惟一性, $y=f(x)$ 的连续性的证明与隐函数存在定理中的证明相同. □

注意到以上命题中 $F_y⩾m>0$ 是一个很强的条件，它保证了对每个固定的 $x\in (a,b)$ ，存在惟一的 $y=f(x)$ ，使得 $F(x,f(x))=0$ 。在高维情况就要复杂得多。

下面只讨论映射 $F:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^n$ 是否存在定义在 ${\mathbf{R}}^n$ 上的整体逆映射 $F^{-1}$ 的问题. 如果 $F$ 与 $F^{-1}$ 都是连续映射, 则称 $F$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 上的同胚. 如果 $F$ 与 $F^{-1}$ 都是 $C^k$ 映射 (即各个分量函数都是 $k$ 次连续可微函数), 则称 $F$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 上的 $C^k$ 同胚. 反函数组定理告诉我们, 如果 $\forall x\in {\mathbf{R}}^n,\det JF(x)\ne 0$ , 则对每一个 $x$ 都存在 $x$ 的邻域 $U$ 和 $F(x)$ 的邻域 $V$, 使 $F$ 是 $U$ 到 $V$ 的同胚. 但 $F$ 不一定是 ${\mathbf{R}}^n$ 上的整体同胚, 即使有类似于命题 $\mathrm{20.4.1}$ 的条件也不行. 例如考虑可微映射

$$u=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\cos (y{\mathrm{e}}^{-x}),v=\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}\sin (y{\mathrm{e}}^{-x}),\text{\hspace{1em}(20.24)}$$

其 $Jacobi$ 行列式 $\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\equiv 1$ 。在 ${\mathbf{R}}^2$ 的每一点的附近存在逆映射。但映射 (20.24) 是周期的，故其确定的映射不是单射，因而其逆映射在 ${\mathbf{R}}^2$ 中并不是整体存在的。这里单射是关键，事实上我们有如下逆映射定理。

命题 $20.4.2$

设开集 $D\subset {\mathbf{R}}^n,f:D\to {\mathbf{R}}^n$ . 如果

(1) f 是 $D$ 上的连续可微映射;

(2) 对每一个 $x\in D$ , $\det Jf(x)\ne 0$ ,

则 $G=f(D)$ 为一开集. 又如果 $f$ 是 $D$ 上的单射, 那么存在由 $G$ 到 $D$ 上的连续可微映射 $f^{-1}$ 满足: 对一切 $y\in G$ 有

$$\mathbf{f}\circ {\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{y})=\mathbf{y},J{\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{y})=(J\mathbf{f}(\mathbf{x}){)}^{-1},\text{\hspace{1em}(20.25)}$$

其中 $x=f^{-1}(y)$ .

证明

证 $\forall y\in f(D)$ , $\exists x\in D$ , 使 $f(x)=y$ , $f$ 定义在 $x$ 的某个邻域上, 且 $\det Jf(x)\ne 0$ . 由反函数组存在定理, 存在 $y$ 的邻域 $V$ , 使逆映射在 $V$ 上惟一存在, 即存在惟一的 $f^{-1}(y)$ , 使

$$\mathbf{f}\circ {\mathbf{f}}^{-1}(\mathbf{y})=\mathbf{y},\forall \mathbf{y}\in D.$$

所以 $V\subset f(D)$ ，这就证明了 $y$ 是 $f(D)$ 的内点。由 $y$ 的任意性就证明了 $f(D)$ 是开集。当 $f$ 是 $D$ 到 $G$ 的 1-1 映射时，逆映射是惟一存在的。且整体惟一的逆映射必是局部惟一的逆映射，再结合反函数组存在定理就可证明 (20.25)。

关于整体同胚有许多漂亮的充分必要条件与充分条件, 下面是很经典的两个.

命题 $20.4.3$ ($Hadamard$ 定理)

设 $F:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^n$ 是 $C^1$ 映射，并且 $\forall x\in {\mathbf{R}}^n$ ，有 $\det JF(x)\ne 0$ ，即 $Jacobi$ 矩阵 $JF(x)$ 的逆矩阵 $J{F}^{-1}(x)$ 存在。如果还存在 $M>0$，使得 $\Vert J{F}^{-1}(x)\Vert ⩽M,\forall x\in {\mathbf{R}}^n$ ，其中 $\Vert \cdot \Vert$ 表示矩阵的模（如 $\Vert A\Vert ={\max }_{1⩽i,j⩽n}\{|a_{ij}|\}$ ，则 $F$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 到 ${\mathbf{R}}^n$ 的 $C^1$ 同胚。

命题 $20.4.4$

设 $F:{\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^n$ 是 $C^1$ 映射，并且 $\forall x\in {\mathbf{R}}^n$ ，有 $\det JF(x)\ne 0$ 。则 $F$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 到 ${\mathbf{R}}^n$ 的 $C^1$ 同胚的充分必要条件是

$$\underset{|\mathbf{x}|\to +\infty }{\lim }|\mathbf{F}(\mathbf{x})|=+\infty .$$

尽管这两个命题的表述在数学分析的范围内很好理解, 但它们的证明要用到进一步的数学知识. 有兴趣的读者可在以后参考 $DeimlingK$ 的专著: Nonlinear Functional Analysis (Berlin: Springer-Verlag, 1985) 的第 152–153, 171 页.

我们在参考题中列举了一些可以用多元微积分的知识来讨论的命题.