§$20.3$ 变量代换问题

今后，例如在偏微分方程的求解过程中，经常需要对自变量或函数作变量代换，以求简化方程形式乃至求出方程的解。变量代换计算的关键是隐函数组或反函数组的求导。

$\mathrm{20.3.1}$ 仅变换自变量的情形

例 $20.3.1$

在方程

$${\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2=u$$

中作极坐标变换 $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$，试求方程在变换后的形式。

解 $1$

认为 $u(x,y)=u(r\cos \theta ,r\sin \theta )$，则

$$\begin{array}{l}{u}_r=u_x\cos \theta +u_y\sin \theta ,\\ u_{\theta }=r(-u_x\sin \theta +u_y\cos \theta ).\end{array}$$

解此方程组得

$$u_x=\frac{1}{r}(r\cos \theta u_r-\sin \theta u_{\theta }),u_y=\frac{1}{r}(r\sin \theta u_r+\cos \theta u_{\theta }).$$

代入原方程中得

$$u_r^2+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta }^2=u.$$

解 $2$

认为 $u(r,\theta )=u(\sqrt{x^2+y^2},\arctan \frac{y}{x})$，则

$$u_x=u_r\frac{x}{r}-u_{\theta }\frac{y}{r^2},u_y=u_r\frac{y}{r}+u_{\theta }\frac{x}{r^2}.$$

于是 $u_x^2+u_y^2=u_r^2+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta }^2$，从而方程化为

$$u_r^2+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta }^2=u.$$

上述两种方法是自变量变换中通常使用的方法，具体用哪一种方法使运算简单，视具体情况而定。

例 $20.3.2$

通过代换 $x=uv$, $y=\frac{1}{2}(u^2-v^2)$，变换方程

$${\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

解

由链式法则

$$z_u=v{z}_x+u{z}_y,z_v=u{z}_x-v{z}_y.$$

两式平方后相加得

$$z_u^2+z_v^2=(u^2+v^2)(z_x^2+z_y^2).$$

于是

$$z_x^2+z_y^2=\frac{1}{u^2+v^2}(z_u^2+z_v^2).$$

另一方面

$$x^2+y^2=\frac{1}{4}(u^2+v^2{)}^2,$$

代入原方程得

$$z_u^2+z_v^2=2.$$

$\mathrm{20.3.2}$ 自变量与因变量同时变换的情形

这种情况比只变换自变量的情况稍复杂些，它要多一个函数关系分析的步骤。

例 $20.3.3$

通过代换 $x=t$, $y=\frac{t}{1+tu}$, $z=\frac{t}{1+tv}$，试把方程

$$x^2{z}_x+y^2{z}_y=z^2\text{\hspace{1em}(20.17)}$$

变为以 $v$ 为因变量、$t,u$ 为自变量的形式。

分析 题目的意思是有一个函数 $z=z(x,y)$ 满足方程 $(20.17)$，作自变量代换

$$x=t,y=\frac{t}{1+tu}\text{\hspace{1em}(20.18)}$$

以及因变量代换

$$z=\frac{t}{1+tv}\text{\hspace{1em}(20.19)}$$

得到函数 $v=v(t,u)$。求 $v=v(t,u)$ 满足的方程。

解 $1$

直接从关系式 $(20.19)$ 出发求 $z_x$ 和 $z_y$：

$$z_x=(\frac{t}{1+tv}{)}_t{t}_x+(\frac{t}{1+tv}{)}_v(v_t{t}_x+v_u{u}_x),\text{\hspace{1em}(20.20)}$$$$z_y=(\frac{t}{1+tv}{)}_t{t}_y+(\frac{t}{1+tv}{)}_v(v_t{t}_y+v_u{u}_y).\text{\hspace{1em}(20.21)}$$

由 $(20.18)$ 得

$$t=x,u=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}.$$

于是

$$t_x=1,t_y=0,u_x=\frac{1}{x^2},u_y=-\frac{1}{y^2}.$$

将它们代入 $(20.20)$、$(20.21)$，得到

$$z_x=(\frac{t}{1+tv}{)}_t+(\frac{t}{1+tv}{)}_v(v_t+\frac{1}{x^2}{v}_u),z_y=-(\frac{t}{1+tv}{)}_v\frac{1}{y^2}{v}_u.$$

将以上式子代入 $(20.17)$，得到

$$x^2\left[\right(\frac{t}{1+tv}{)}_t+\left(\frac{t}{1+tv}{)}_v{v}_t\right]=z^2.$$

整理得

$$v_t=0.$$

解 $2$

从 $(20.19)$ 中解出 $v$ 得

$$v=\frac{1}{z}-\frac{1}{t},$$

于是

$$v_t=-\frac{1}{z^2}(z_x{x}_t+z_y{y}_t)+\frac{1}{t^2},\text{\hspace{1em}(20.22)}$$$$v_u=-\frac{1}{z^2}(z_x{x}_u+z_y{y}_u).\text{\hspace{1em}(20.23)}$$

由 $(20.18)$ 得

$$x_t=1,x_u=0,y_t=\frac{1}{(1+tu{)}^2},y_u=-\frac{t^2}{(1+tu{)}^2}.$$

将它们代入 $(20.22)$、$(20.23)$ 得

$$v_t=-\frac{1}{z^2}[z_x+\frac{1}{(1+tu{)}^2}{z}_y]+\frac{1}{t^2},v_u=\frac{1}{z^2}\cdot \frac{t^2}{(1+tu{)}^2}{z}_y.$$

由此解出 $z_x,z_y$，得

$$z_x=z^2(\frac{1}{t^2}-v_t)-\frac{z^2}{t^2}{v}_u,z_y=\frac{z^2(1+tu{)}^2}{t^2}{v}_u.$$

将它们代入原方程，得

$$v_t=0.$$

$\mathrm{20.3.3}$ 练习题

1. 把方程 $(x-y)\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0$ 变为 $x$ 作因变量，$y,z$ 为自变量的形式。

2. 引用新函数 $r=\sqrt{x^2+y^2}$, $\phi =\arctan \frac{y}{x}$ 变换微分式

   $$w=x\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-y\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}.$$

3. 以 $\xi =x+y$, $\eta =x-y$ 为新自变量，变换方程 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}$。

4. 取 $u=y+z{e}^{-x}$, $v=x+z{e}^{-y}$ 为新的自变量，变换微分式

   $$F=(z+{\mathrm{e}}^x)\frac{\partial z}{\partial x}+(z+{\mathrm{e}}^y)\frac{\partial z}{\partial y}-(z^2-{\mathrm{e}}^{x+y}).$$

5. 设 $u=x{\mathrm{e}}^z$, $v=y{\mathrm{e}}^z$, $w=z{\mathrm{e}}^z$，试以 $w$ 为新的因变量，$u,v$ 为新的自变量，变换方程 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}$。

6. 以 $w$ 为新的因变量，$\xi ,\eta ,\zeta$ 为新的自变量，变换方程

   $$x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}=u+\frac{xy}{z},$$

   其中 $\xi =\frac{x}{z}$, $\eta =\frac{y}{z}$, $\zeta =z$, $w=\frac{u}{z}$。

7. 试求 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$ 在球坐标下的形式。

8. 以 $u=x+2y+2$, $v=x-y-1$ 为新的自变量，变换方程

   $$2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}-\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0.$$

9. 以 $w$ 为新的因变量，$u,v$ 为新的自变量，变换方程

   $$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+(1+\frac{y}{x})\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0,$$

   其中 $u=x$, $v=x+y$, $w=x+y+z$。

10. 设 $xu=x^2+y^2$, $yv=x^2+y^2$，证明：$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=-\frac{uv}{xy}$。

11. 若 $u(x,y,z)$, $v(x,y,z)$ 可微，证明：

    $$\frac{\partial (u,v)}{\partial (y,z)}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial (u,v)}{\partial (z,x)}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\frac{\partial u}{\partial z}=0.$$

12. 设 $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$，试求 $\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}$, $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$。

13. 设 $u=\frac{x}{r^2}$, $v=\frac{y}{r^2}$, $w=\frac{z}{r^2}$，其中 $r^2=x^2+y^2+z^2$，试求 $\frac{\partial (u,v,w)}{\partial (x,y,z)}$。