§$19.5$ 对于教学的建议

$19.5.1$ 学习要点

$1$. 在多元函数中, 让一个自变量变化, 其他自变量固定, 就成为一元函数. 这个一元函数的导数就是原来函数的偏导数. 偏导数反映了函数在某个坐标轴方向的变化率, 并不完全反映函数在一点附近的全面变化. 反映函数在一点附近的全面变化的量是全微分, 它是函数在一点附近的线性逼近和线性主部. 有些教科书是先引入全微分的概念, 如 [24]. 这就是沿着线性逼近或线性主部的线索来展开. 我们先讨论偏导数, 从计算上讲更具体些.

$2$. 在一元函数中, 可导等价于可微 (参见上册 $177$ 页 $\mathrm{6.3.1}$ 小节), 很多学生对两者不予区分. 故这一章在概念上的重点是微分, 应当要求学生能从可微的定义出发去证明一个函数在一点可微或不可微, 同时能清楚多元函数连续与偏导数存在、偏导数连续与可微之间的关系, 并能举出反例.

$3$. 复合函数求导的链式法则是计算训练的重点，初学者最容易犯的错误是漏项。批改作业时要注意学生的计算过程。

$4$. 对习题课的建议 在强调多元函数连续性、可微性的条件时，也要注意另一种倾向，即学生太小心以至不敢用一元函数的有关定理。例如学生们往往不能确定如下结论：

$(1)$ 若 $f_x(x_0,y_0)$ 存在, 就能保证一元函数 $f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 点连续;

$(2)$ 若 $f_x(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的邻域上有界，则 $f(x,y_0)$ 在 $x_0$ 的邻域上连续.

又如, 他们在证明命题 $\mathrm{19.1.1}$ 时, 知道要将 $\Delta f$ 写成如下形式:

$$\Delta f=\left[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)\right]+\left[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\right],$$

但再往下有些学生不敢应用一元函数的微分中值定理，因为他们知道微分中值定理要求函数在闭区间上连续，在开区间上可导。但现在是要证明函数的连续性，怎么可以应用中值定理呢？事实上，他们混淆了一元函数和多元函数的连续性。

有些学生错误地认为偏导数连续是可微的必要条件, 因此应该告诉他们一个反例, 例如 $\mathrm{19.2.4}$ 小节的练习题 $2$ 就是一个反例. $\mathrm{19.2.3}$ 小节的思考题 $4$ 表明两个偏导数中只需要一个连续, 便可证出可微性. 因此如果 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 存在偏导数 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ , 且 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 不可微, 则任何一个偏导数 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 不可能在点 $(x_0,y_0)$ 连续.

对于多元函数连续、偏导数存在、偏导数连续和可微之间的关系, 最好组织学生自己进行小结.

要引导学生选择简捷的方法进行计算, 以达到快速准确解题的目的. 下面是一个很好的例子.

例题 $19.5.1$

设 $u=xyz{\mathrm{e}}^{x+y+z}$ , 求 $\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^p\partial y^q\partial z^r}$ , 其中 $p+q+r=k$ .

解

由于

$$\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^p\partial y^q\partial z^r}=\frac{{\partial }^p}{\partial x^p}(x{\mathrm{e}}^x)\frac{{\partial }^q}{\partial y^q}(y{\mathrm{e}}^y)\frac{{\partial }^r}{\partial z^r}(z{\mathrm{e}}^z),$$

而

$$\frac{{\partial }^p}{\partial x^p}(x{\mathrm{e}}^x)=(p+x){\mathrm{e}}^x,$$

从而

$$\frac{{\partial }^{k}u}{\partial x^p\partial y^q\partial z^r}=(p+x)(q+y)(r+z){\mathrm{e}}^{x+y+z}.$$

建议将例题 $\mathrm{19.2.3}$ 或类似的题布置为学生的课外题, 该类题可引导学生自己去推导出必要条件, 而不是在某种预先给定的条件下去证明结论.

$\mathrm{19.5.2}$ 参考题

参考题

$1$. 设 $u(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi t}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4t}}$ ，证明：当 $t>0$ 时 $\left|\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\right|⩽C{t}^{-\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-\lambda \frac{x^2}{t}}$ ，其中 $C$ 为正常数， $\lambda$ 为小于 $\frac{1}{4}$ 的正常数。

$2$. 设 $\Gamma (x,y,z;\xi ,\eta ,\zeta )=-\frac{1}{4\pi }{\left[(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2+(z-\zeta {)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}}$ ，证明：

$$\left|\frac{\partial \Gamma }{\partial z}\right|⩽\frac{1}{4\pi }{\left[(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2+(z-\zeta {)}^2\right]}^{-1},$$$$\left|\frac{{\partial }^2\Gamma }{\partial y\partial z}\right|⩽\frac{3}{4\pi }{\left[(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2+(z-\zeta {)}^2\right]}^{-\frac{3}{2}},$$$$\left|\frac{{\partial }^3\Gamma }{\partial x\partial y\partial z}\right|⩽C{\left[(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2+(z-\zeta {)}^2\right]}^{-2},$$

其中 $C$ 为正常数.

$3$. 设 $u(x,y)$ 有二阶偏导数, 无零点. 证明: $u$ 满足方程

$$u\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot \frac{\partial u}{\partial y}$$

的充分必要条件是 $u(x,y)=f(x)g(y)$ .

$4$. 证明: 关于 $n$ 次齐次函数的命题 $\mathrm{19.3.1}$—$\mathrm{19.3.4}$.

$5$. 设 $u=\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$ ，证明： $(1)$ ${\sum }_{i=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}=0;$ $(2)$ ${\sum }_{i=1}^n{x}_i\frac{\partial u}{\partial x_i}=\frac{n(n-1)}{2}u.$

$6$. 设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 是正交矩阵, $f(y)$ 是定义在 ${\mathbf{R}}^n$ 上的二次可微函数, $F(x)=f(Ax)$ . 证明: 当 $y=Ax$ 时有

$$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{\partial f}{\partial y_i}\right)}^2=\sum _{i=1}^n{\left(\frac{\partial F}{\partial x_i}\right)}^2;\text{\hspace{1em}(1)}$$$$\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y_i^2}=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x_i^2}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

$7$. 求下列变换的 $Jacobi$ 行列式:

$(1)$ $x_1=r\cos \theta ,x_2=r\sin \theta$ ，求 $\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (r,\theta )}$

$(2)$ $x_1=r\cos {\theta }_1,x_2=r\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2,x_3=r\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2$ , 求 $\frac{\partial (x_1,x_2,x_3)}{\partial (r,{\theta }_1,{\theta }_2)}$

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=r\cos {\theta }_1,\\ x_2=r\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2,\\ x_3=r\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\cos {\theta }_3,\\ \dots \dots \\ x_{m-1}=r\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\sin {\theta }_3\dots \sin {\theta }_{m-2}\cos {\theta }_{m-1},\\ x_m=r\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\sin {\theta }_3\dots \sin {\theta }_{m-2}\sin {\theta }_{m-1},\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

这里 $r⩾0,0⩽{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_{m-2}⩽\pi ,0⩽{\theta }_{m-1}⩽2\pi ,$ 试用数学归纳法求

$$\frac{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_m)}{\partial (r,{\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_{m-1})}.$$

$8$. 函数值计算的相对误差估计:

$(1)$ 利用可微函数定义与近似等式 $\Delta f(x;h)\approx \mathrm{d}f(x)h$ ，证明：设 $f(x)=f_1\cdot f_2\cdot \cdots \cdot f_n$ 是 $n$ 个不为零的因子的乘积，若 ${\delta }_i$ 是第 $i$ 个因子的相对误差，则它们乘积的相对误差为 $\delta =\delta (f(x);h)\approx {\sum }_{i=1}^n{\delta }_i$ ;

$(2)$ 利用等式 $\mathrm{d}\ln f(x)=\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}f(x)$ ，再次得到上题结果并证明：一般的分式 $\frac{f_1{f}_2\cdots f_n}{g_1{g}_2\cdots g_n}(x_1,x_2,\cdots ,x_m)$ 的相对误差是函数 $f_1,f_2,\cdots ,f_n,g_1,g_2,\cdots ,g_n$ 的值的相对误差的和.

$9$. 设 $x_1(t)$ , $x_2(t)$ , $\cdots$ , $x_n(t)$ 是 $R$ 上的可微函数, 满足:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }(t)=a_{11}{x}_1(t)+a_{12}{x}_2(t)+\cdots +a_{1n}{x}_n(t),\\ x_2^{\prime }(t)=a_{21}{x}_1(t)+a_{22}{x}_2(t)+\cdots +a_{2n}{x}_n(t),\\ \dots \dots \\ x_n^{\prime }(t)=a_{n1}{x}_1(t)+a_{n2}{x}_2(t)+\cdots +a_{nn}{x}_n(t),\end{array}$$

其中 $a_{ij}⩾0,i,j=1,2,\cdots ,n.$ 假如对任何 $i$，当 $t\to +\infty$ 时， $x_i(t)\to 0.$ 问函数 $x_1(t),x_2(t),\cdots ,x_n(t)$ 必定是线性相关的吗（这里函数线性相关的定义见上一章的第一组参考题 $4$）？

$10$. 设 $f$ 为 $R^n$ 上的 $C^2$ 映射. $Jf(x)$ 为 $Jacobi$ 矩阵, 它的元素为 $\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x),i,j=1,2,\cdots ,n$ . 在 $Jacobi$ 行列式 $\det (Jf(x))$ 中对应的代数余子式为 $A_{ij}(x),i,j=1,2,\cdots ,n$ . 证明如下的 $Hadamard$ 恒等式:

$$\sum _{i=1}^n\frac{\partial A_{ij}}{\partial x_i}(\mathbf{x})=0,j=1,2,\dots ,n.$$

第二十章 隐函数存在定理与隐函数求导

本章在 §$20.1$ 讨论一个方程所确定的隐函数。在 §$20.2$ 讨论方程组所确定的隐函数组，并用压缩映射原理证明了反函数组存在定理。在 §$20.3$ 讨论微分式的变量替换。在 §$20.4$ 讨论隐函数（组）的整体存在性，这可以作为习题课的补充材料。最后一节是学习要点和两组参考题。