§$19.2$ 全微分

$\mathrm{19.2.1}$ 全微分的定义与基本性质

为方便起见，这里仅讨论二元函数。设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域上有定义。如果 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$ 可以表示为

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(r)(r\to 0),$$

其中 $A,B$ 是两个仅与点 $(x_0,y_0)$ 有关而与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数， $o(r)$ 是当 $r\to 0$ 时关于 $r$ 的高阶无穷小量， $r=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$ ，则称 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，且称 $A\Delta x+B\Delta y$ 是函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的全微分，记作

$$\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y.$$

习惯上，记 $\Delta x=\mathrm{d}x,\Delta y=\mathrm{d}y$ ，于是全微分 $\mathrm{dz}$ 又可以写为

$$\mathrm{d}z=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y.$$

从全微分的定义可知，如果函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，那么在点 $(x_0,y_0)$ 附近有

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+A\Delta x+B\Delta y.$$

上式右端是一个线性函数，因此可微的意义在于在点 $(x_0,y_0)$ 附近函数可用关于 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 的一个线性函数近似代替.

全微分具有下列性质：

($1$) 如果 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则

$$A=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),B=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0);$$

($2$) 若 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续。

由性质($1$)知，如果 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的全微分是

$$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{d}y.$$

类似地可定义高阶全微分

$${\mathrm{d}}^{n}f=\mathrm{d}({\mathrm{d}}^{n-1}f)={\left(\mathrm{d}x\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{d}y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n}f,$$

其中 ${\left(\mathrm{d}x\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{d}y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^n$ 是将 $\mathrm{d}x$， $\mathrm{d}y$， $\frac{\partial }{\partial x}$ ， $\frac{\partial }{\partial y}$ 视为通常的量按照二项式定理展开而得到的对 $f$ 的一个形式记号，实际上是一个微分算子.

全微分的几何意义 设 $z=f(x,y)$ 是空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中的曲面，如果 $f$ 可微，那么在点 $p_0(x_0,y_0,z_0)$ 附近，曲面可以用它在点 $p_0$ 的切平面近似代替. 其差是关于 $r=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$ 的一个高阶无穷小量，切平面由两个线性无关的切向量 ${\tau }_x,{\tau }_y$ 张成，其法向量为

$$\mathbf{n}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right).$$

与一元函数的情况类似，全微分可用于近似计算与估计误差. 以二元函数为例，

$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y$$

就是 $(x_0,y_0)$ 附近的一个近似公式，

$$\Delta z\approx \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y$$

就是点 $(x_0,y_0)$ 附近的一个近似的误差估计式（参见上册 $\mathrm{6.3.2}$ 小节中的例题）.

例 $19.2.1$

求 $A=\sqrt{1-(1.004{)}^2+(1.994{)}^2}$ 的近似值.

解

取 $z=f(x,y)=\sqrt{1-x^2+y^2}$ ， $x_0=1$ ， $y_0=2$ ， $\Delta x=0.004$ ， $\Delta y=-0.006$ . 计算得

$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\frac{1}{2},\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1.$$

于是 $A=f(1.004,1.994)\approx f(1,2)-\frac{1}{2}\cdot (0.004)+1\cdot (-0.006)=1.992$ .

$\mathrm{19.2.2}$ 多元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系

多元函数在一个点处的连续性、偏导数存在性及可微性之间有下列关系：

由此可得到证明一个函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 不可微的常用方法如下：

($1$) $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点至少有一个偏导数不存在；

($2$) $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点不连续；

($3$) 从定义出发证明 $\Delta f-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y\ne o(r)$ .

例 $19.2.2$

设 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ ，证明：

($1$) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点连续;

($2$) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0),\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 都存在;

($3$) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点不可微.

证

($1$) 由于 $|\Delta f|=|\Delta x{|}^{1/2}|\Delta y{|}^{1/2}$ ，于是

$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }[f(0,0)+\Delta f]=0=f(0,0).$$

($2$) 直接按定义计算得

$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=0,$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0.$$

($3$) 由于

$$\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=|\Delta x{|}^{\frac{1}{2}}|\Delta y{|}^{\frac{1}{2}},$$

取 $\Delta x=\Delta y\to 0$ ，则

$$\frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}=\frac{|\Delta x{|}^{\frac{1}{2}}|\Delta y{|}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}⟶\frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0,$$

所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点不可微.

$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微时，成立无穷小增量公式：

$$f\left(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y\right)=f\left(x_0,y_0\right)+f_x\left(x_0,y_0\right)\Delta x+f_y\left(x_0,y_0\right)\Delta y+o(|\Delta x|+|\Delta y|).$$

上述例子说明仅有 $f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)$ 存在还不足以保证二维无穷小增量公式成立.这与一维无穷小增量公式（上册 $159$ 页 $6.1$）成立的条件是不一样的，由此可以体会一元导数与多元偏导数的区别.

例 $19.2.3$

设 $f(x,y)=|x-y|\phi (x,y)$ ，其中 $\phi (x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的一个邻域上有定义，要求给函数 $\phi (x,y)$ 加上适当的条件，使得

($1$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续;

($2$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 存在偏导数;

($3$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 可微.

解

($1$) 由于 $f(0,0)=0$ ，而在点 $(0,0)$ 附近

$$|f(x,y)|⩽2\sqrt{x^2+y^2}|\phi (x,y)|,$$

于是当

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\sqrt{x^2+y^2}\phi (x,y)=0$$

时， $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点连续.

特别地，当 $\phi (x,y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有界时， $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续.

($2$) 由于单侧导数

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{\pm }(0,0)& ={\lim }_{x\to 0^{\pm }}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\\ & ={\lim }_{x\to 0^{\pm }}\frac{\pm x\phi (x,0)}{x}=\pm {\lim }_{x\to 0^{\pm }}\phi (x,0),\end{array}$$

从而当 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)=-{\lim }_{x\to 0^{-}}\phi (x,0)$ 时， $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)={\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0).$

同理当 ${\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)=-{\lim }_{y\to 0^{-}}\phi (0,y)$ 时， $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)={\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)$ . 特别地，当 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\phi (x,y)=0$ 时， $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.$

($3$) 由于

$$\begin{array}{rl}& f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y\\ & =|x-y|\phi (x,y)-[{\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)]x-[{\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)]y\\ & =\{\begin{array}{ll}[\phi (x,y)-{\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)]x-[\phi (x,y)+{\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)]y,& \text{若}x⩾y,\\ -[\phi (x,y)+{\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)]x+[\phi (x,y)-{\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)]y,& \text{若}x<y,\end{array}\end{array}$$

由此可以推出，当

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\phi (x,y)=0$$

时， $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$ 且 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点可微.

$\mathrm{19.2.3}$ 思考题

思考题

$1$. 为什么说 $f_x(x_0,y_0)$ 存在就能保证一元函数 $f(x,y_0)$ 在点 $x_0$ 连续？由此能否进一步断言：对充分接近 $y_0$ 的 $y_1$ ，一元函数 $f(x,y_1)$ 在点 $x_0$ 连续？

$2$. 证明全微分的性质 ($1$), ($2$).

$3$. 举例说明：

($1$) $f(x,y)$ 在某一点的邻域内存在偏导数，但在该点不一定连续，从而不一定可微；

($2$) $f(x,y)$ 在某一点连续，但在该点偏导数不一定存在，从而不一定可微；

($3$) $f(x,y)$ 在某一点可微，但在该点偏导数不一定连续.

$4$. 证明：若 $f_x(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 存在， $f_y(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微.

$5$. 设 $z=f(x,y)$ 在开集 $D=(a,b)\times (c,d)$ 上可微，且全微分 $\mathrm{d}z$ 恒为零。问 $f(x,y)$ 在 $D$ 上是否应取常数值？证明你的结论。

$\mathrm{19.2.4}$ 练习题

练习题

$1$. 设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{|x-y|}}{x^2+y^2}\sin (x^2+y^2),& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0,\end{array}$

讨论：

($1$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 是否连续？

($2$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 是否可微？

$2$. 设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\sin \frac{1}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0.\end{array}$

证明：

($1$) $f_x(0,0),f_y(0,0)$ 都存在；

($2$) $f_x(0,0),f_y(0,0)$ 在点 $(0,0)$ 不连续；

($3$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 可微.

（本题也说明从可微不能推出偏导数连续.）

$3$. 设 $f(x,y,z)$ 在开集 $D$ 上有定义， $f_x(x,y,z)$ 与 $f_y(x,y,z)$ 在 $D$ 上有界，且对固定的 $(x,y)$， $f(x,y,z)$ 是 $z$ 的连续函数。证明： $f(x,y,z)$ 在 $D$ 上连续。

$4$. 求 $u=\ln (1+x^2+y^2)$ 在 $(x,y)=(1,2)$ 处的全微分.

$5$. 已测得一圆柱体的底圆直径 $D_0=10.44$ ，高 $H_0=18.36$ ，且测量误差 $|\Delta D|⩽0.02,|\Delta H|⩽0.01$ 。试估计用体积公式 $V=\frac{1}{4}\pi D^{2}H$ 计算时的绝对误差 $\Delta V$ 与相对误差 $\Delta V/V$ 。

$6$. $f(x,y)$ 定义在矩形 $I=[a,b]\times [c,d]$ 上，且 $f_y$ 在 $I$ 上连续，证明： $f(x,y)$ 对 $y$ 满足一致 $Lipschitz$ 条件，即 $\exists L>0$ ，使得 $\forall (x,y_1),(x,y_2)\in I$ ，都有

$$\left|f(x,y_1)-f(x,y_2)\right|⩽L\left|y_1-y_2\right|,$$

其中 $L$ 与 $x$ 无关.

$7$. 若函数 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 在区域 $D$ 内存在，且 $\forall (x,y)\in D,f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$ . 证明： $f(x,y)$ 在 $D$ 上为常值函数.

$8$. 设 $\Omega \in {\mathbf{R}}^2$ 是开区域， $u(x,y),v(x,y)$ 在 $\Omega$ 内满足

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},u^2+v^2=C,$$

其中 $C$ 为常数，证明： $u(x,y$)， $v(x,y)$ 在 $\Omega$ 上均为常值函数.

$9$. 设 $f(x,y)$ 在 $G=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$ 上有定义. 若 $f(x,0)$ 在点 $x=0$ 处连续，且 $f_y(x,y)$ 在 $G$ 上有界. 证明： $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.