§$19.1$ 偏导数

$\mathrm{19.1.1}$ 偏导数的定义

以二元函数为例。 设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域上有定义。 固定 $y=y_0$ 将 $f(x,y)$ 视为 $x$ 的一元函数。 如果它在点 $x_0$ 可导， 则称此导数是二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 关于 $x$ 的偏导数， 记为 $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ 或 $f_x(x_0,y_0)$ ， 即

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}.$$

类似地可以定义 $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ 以及任意个变元的多元函数的偏导数。

例19.1.1

求

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}y\ln (x^2+y^2),& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在点 $(0,0)$ 的偏导数。

证明

由于

$$\begin{array}{l}\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\frac{0-0}{\Delta x}=0,\\ \frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\frac{\Delta y\ln (\Delta y{)}^2}{\Delta y}=\ln (\Delta y{)}^2,\end{array}$$

从而

$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\text{不存在}.$$

由于多元函数的偏导数是用一元函数的导数来定义的， 因此它具有导数的基本性质与运算法则， 例如偏导数的四则运算， 对复合函数求偏导数的链式法则等。

偏导数的几何意义

设 $z=f(x,y)$ 是空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中的曲面， $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的偏导数存在，则它与平面 $y=y_0$ 的交线 $l_x$ 在点 $p_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量 ${\tau }_x$ 为 $\left(1,0,\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)$ ，与平面 $x=x_0$ 的交线 $l_y$ 在点 $p_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量 ${\tau }_y$ 为 $\left(0,1,\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\right)$ .

$\mathrm{19.1.2}$ 偏导数与连续

在一元函数中， 可导可以推出连续。 但在多元函数中， 若 $f$ 在某一点对每一个变元的偏导数都存在， 却不能断言 $f$ 在该点连续， 甚至不能断言 $f$ 在该点的极限存在。 最简单的例子是

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{当}xy\ne 0,\\ 0,& \text{当}xy=0.\end{array}$$

显然 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ ，但 $f$ 在点 $(0,0)$ 不连续，甚至极限也不存在。

下面的命题说明， 如果偏导数在某一点的邻域上存在而且有界， 则可推出函数在该点连续。

命题19.1.1

设函数 $f(x,y)$ 的两个偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域上存在且有界，则 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续。

证明

注意到

$$\begin{array}{rl}\Delta f& =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ & =[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)],\end{array}$$

利用一元函数的微分中值定理， 得

$$\Delta f=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)\Delta y,$$

其中 $0<{\theta }_1,{\theta }_2<1$ . 已知 $\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的邻域上有界， 所以

$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\Delta f=0,$$

即 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续。

$\mathrm{19.1.3}$ 高阶偏导数

就二元函数而论， 若 $f(x,y)$ 的两个偏导数 $f_x(x,y)$ 和 $f_y(x,y)$ 都存在， 则它们都是二元函数。 如果它们关于 $x$ 的偏导数存在或者关于 $y$ 的偏导数存在， 就称这些偏导数是 $f(x,y)$ 的二阶偏导数:

$f$ 关于 $x$ 的二阶偏导数， 记为 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ 或 $f_{xx}$ ；

$f$ 关于 $y$ 的二阶偏导数， 记为 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ 或 $f_{yy}$

$f$ 先关于 $x$ 后关于 $y$ 的二阶混合偏导数， 记为 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ 或 $f_{xy}$ ；

$f$ 先关于 $y$ 后关于 $x$ 的二阶混合偏导数， 记为 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ 或 $f_{yx}$ .

更高阶的偏导数也可以同样定义。 请注意两个混合偏导数 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ 与 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$ 并不总是相等的， 例如设

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\cdot \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

则有

$$\begin{array}{l}{f}_x(x,y)=\{\begin{array}{ll}y\cdot \frac{x^4+4x^2{y}^2-y^4}{(x^2+y^2{)}^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0),\end{array}\\ f_y(x,y)=\{\begin{array}{ll}x\cdot \frac{x^4-4x^2{y}^2-y^4}{(x^2+y^2{)}^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}\end{array}$$

从而在原点处有

$$\begin{array}{l}{f}_{xy}(0,0)={\lim }_{\Delta y\to 0}\frac{f_x(0,\Delta y)-f_x(0,0)}{\Delta y}=-1,\\ f_{yx}(0,0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f_y(\Delta x,0)-f_y(0,0)}{\Delta x}=1.\end{array}$$

由此可见

$$f_{yx}(0,0)\ne f_{xy}(0,0).$$

注

上面定义的函数 $f(x,y)$ 连续可微 (关于可微的定义见下一小节)， 因为 $f_x$ 和 $f_y$ 都是处处连续的。 但如果混合偏导数 $f_{yx}$ 和 $f_{xy}$ 连续， 则构造上述反例是不可能的。 事实上， 如果在某一点 $(x_0,y_0)$ 的邻域内 $f_x,f_y$ 都存在， 且 $f_{yx}$ 与 $f_{xy}$ 都在该点连续， 那么在点 $(x_0,y_0)$ 一定成立 $f_{yx}=f_{xy}$ 。 在一般的分析教科书上都有这个结论及其证明。 我们可以证明下述更强的结论。

命题19.1.2

设 $f_x,f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在且 $f_{xy}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f_{yx}(x_0,y_0)$ 存在，且

$$f_{yx}(x_0,y_0)=f_{xy}(x_0,y_0).$$

证明

定义

$$\phi (x)=f(x,y_0+\Delta y)-f(x,y_0).$$

由于函数 $f$ 存在关于 $x$ 的偏导数， 所以 $\phi (x)$ 可导， 应用一元函数的中值定理， 有

$$\begin{array}{rl}\phi (x_0+\Delta x)-\phi (x_0)& ={\phi }^{\prime }(x_0+{\theta }_1\Delta x)\Delta x\\ & =[f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)-f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0)]\Delta x,\end{array}$$

其中 $0<{\theta }_1<1$ ， 又由 $f_x$ 存在关于 $y$ 的偏导数， 故对以 $y$ 为自变量的函数 $f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y)$ 应用一元函数中值定理， 上式化为

$$\phi (x_0+\Delta x)-\phi (x_0)=f_{xy}(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+{\theta }_2\Delta y)\Delta x\Delta y,$$

其中 $0<{\theta }_1,{\theta }_2<1$ . 因此

$$\begin{array}{rl}& f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0+\Delta y)+f(x_0,y_0)\\ & =f_{xy}(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+{\theta }_2\Delta y)\Delta x\Delta y.\end{array}$$

在上式两边同除以 $\Delta y$ ， 并令 $\Delta y\to 0$ ， 由偏导数的定义以及 $f_{xy}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续就得到

$$f_y(x_0+\Delta x,y_0)-f_y(x_0,y_0)=f_{xy}(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0)\Delta x.$$

再在上式两边同除以 $\Delta x$ ， 并令 $\Delta x\to 0$ ， 由 $f_{xy}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续得到

$$f_{yx}(x_0,y_0)=f_{xy}(x_0,y_0).$$

例19.1.2

证明：函数 $u(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}$ 在上半平面 ${\mathbf{R}}_{+}^2=\{(x,t)\in$ ${\mathbf{R}}^2\mid t>0\}$ 上满足热传导方程

$$\frac{\partial u}{\partial t}-a^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=0,\text{\hspace{1em}(19.1)}$$

其中 $a$ 为正常数。

证明

$\forall (x,t)\in {\mathbf{R}}_{+}^2$ ，由于

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)& =\frac{1}{2a\sqrt{\pi }}\left(-\frac{1}{2t^{3/2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}+\frac{1}{t^{1/2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}\frac{x^2}{4a^2{t}^2}\right)\\ & =\frac{1}{4a\sqrt{\pi }{t}^{3/2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}\left(-1+\frac{x^2}{2a^{2}t}\right),\end{array}$$$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}(-\frac{x}{2a^{2}t}),$$$$\begin{array}{rl}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x,t)& =\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\left({\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}\frac{x^2}{4a^4{t}^2}-\frac{1}{2a^{2}t}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}\right)\\ & =\frac{1}{4a^3\sqrt{\pi }{t}^{3/2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{4a^{2}t}}\left(\frac{x^2}{2a^{2}t}-1\right),\end{array}$$

所以方程$(19.1)$在 $R_{+}^2$ 上成立。

例19.1.3

设 $\Gamma (x,y;\xi ,\eta )=\frac{1}{2\pi }\ln \sqrt{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2}$ ，则

$$\left|\frac{\partial \Gamma }{\partial y}\right|⩽\frac{1}{2\pi }{\left[(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2\right]}^{-\frac{1}{2}},$$$$\left|\frac{{\partial }^2\Gamma }{\partial x\partial y}\right|⩽\frac{1}{\pi }{\left[(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2\right]}^{-1}.$$

证明

由于

$$\frac{\partial \Gamma }{\partial y}=\frac{1}{2\pi }\frac{y-\eta }{(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2},$$$$\frac{{\partial }^2\Gamma }{\partial x\partial y}=-\frac{1}{\pi }\frac{(y-\eta )(x-\xi )}{[(x-\xi {)}^2+(y-\eta {)}^2{]}^2},$$

从而结论成立。