§$16.5$ 对于教学的建议

$\mathrm{16.5.1}$ 学习要点

本章只是对于前三章的补充, 在教学中可根据情况选用.

$1$. 在许多积分计算中无穷级数经常有用, 它在求出有限形式答案和近似计算方面都是不可缺少的手段. 这里的问题已经与含参变量的积分有关, 但其中的参数只是离散的正整数.

$2$. 级数求和有很多内容, §$16.2$ 列出的都是常用方法. 关于幂级数求和的材料见 $\mathrm{14.3.3}$ 小节的例题, 这里不再叙述.

$3$. $Weierstrass$ 逼近定理在教科书中都有, 但一般只举出一种证法. §$16.3$ 对此给出一个综述, 同时还对其应用举例.

$4$. 利用无穷级数构造具有特殊性质的函数是个经典问题. 这方面可用下面的几个参考题进行训练.

$\mathrm{16.5.2}$ 参考题

$1$. 求下列级数之和:

($1$) $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\cdots$ ;

($2$) $\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 7\cdot 8}+\cdots$ ;

($3$) $\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}+\cdots$ .

$2$. 求 $Leibniz$ 型级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{\ln n}{n}$ 之和.

$3$. 证明： ${\sum }_{m=1}^{\infty }{\sum }_{\begin{array}{c}n=1\\ n\ne m\end{array}}^{\infty }\frac{1}{m^2-n^2}=-\frac{{\pi }^2}{8}.$

$4$. ($Goldbach$ (哥德巴赫)) 设 $q$ 取遍所有大于 $1$ 的正整数的乘幂, 且其指数均大于 $1$, 证明: ${\sum }_q\frac{1}{q-1}=1$ .

$5$. 设 $a_1=2,a_2=8,a_n=4a_{n-1}-a_{n-2},n=3,4,5,\cdots$ ，证明：

$$\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm{arccot}{a}_n^2=\frac{\pi }{12}.$$

$6$. 证明: $\pi ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(n!{)}^2{2}^{n+1}}{(2n+1)!}$ .

$7$. 设 $\{g_n\}$ 是 $[0,1]$ 上非负连续函数列，且对每个 $x^k(k=0,1,\cdots )$ 存在极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{x}^k{g}_n(x)\mathrm{d}x,$$

证明：对任意的 $f\in C[0,1]$ ，存在极限

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^{1}f(x)g_n(x)\mathrm{d}x.$$

$8$. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界且有原函数, $g\in C[a,b]$ , 证明: $f\cdot g$ 在 $[a,b]$ 上有原函数.

$9$. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界且有原函数, $g\in C^1[0,1]$ 且 $g^{\prime }(x)>0$ , 证明: 复合函数 $f\circ g$ 在 $[0,1]$ 上有原函数.

$10$. 题$8$中 $f$ 有界的条件不可去掉（见[$62$]的第二册$340$页).在$[0,1]$上定义

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{x}}\sin \frac{1}{x},& 0<x⩽1,\\ 0,& x=0,\end{array}g(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{x}\sin \frac{1}{x},& 0<x⩽1,\\ 0,& x=0,\end{array}$$

验证它们满足题$8$中除 $f$ 有界的所有条件，但 $f\cdot g$ 在$[0,1]$上无原函数.

$11$. 设函数 $f$ 在有界开区间 $(a,b)$ 上可以展开为一致收敛的多项式级数, 证明: $f$ 必在 $(a,b)$ 上一致连续.

$12$. 设 $f\in C[1,+\infty )$ , $f(+\infty )=A$ , 则对于每个 $\epsilon >0$ , 存在多项式 $P$ , 使得

$$\left|f(x)-P\left(\frac{1}{x}\right)\right|<\epsilon ,x\in [1,+\infty ).$$

$13$. 设 $f\in C[0,+\infty )$ , $f(+\infty )=A$ , 则对于每个 $\epsilon >0$ , 存在多项式 $P$ , 使得

$$\left|f(x)-P\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)\right|<\epsilon ,x\in (0,+\infty ).$$

$14$. (处处连续处处不可导的函数) 将 $(0,1)$ 中的数 $x$ 按照十进制小数展开为 $x={\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{x_k}{10^k}$ ，其中 $x_k$ 为 $0$ 到 $9$ 的个位数字。对于 $x$ 有两种十进制表示的情况，约定取从某位后全为 $0$ 的一种表示。定义函数

$$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{u_k}{2^k},$$

其中 $u_1=1$ ，而当 $k⩾1$ 时

$$u_{k+1}=\{\begin{array}{ll}{u}_k,& \text{若}{x}_{k+1}=x_k,\\ 1-u_k,& \text{若}{x}_{k+1}\ne x_k.\end{array}$$

证明：$f$ 于 $(0,1)$ 内处处连续，但处处不可微.

(本例见《美国数学月刊》($1952$)第$59$卷$222-225$页, 又见[$29$].)

$15$. 设对每个正整数 $n,u_n(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的非负单调增加函数且级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(1)$ 收敛. 令 $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ , 则 $S(x)$ 的不连续点集等于所有 $u_n(x)$ 的不连续点集之并.

$16$. (有稠密间断点的单调函数) 设数列 $\{x_n\}$ 是 $(0,1)$ 内的有理数全体, 又任取一个收敛的正项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ , 其中要求每个 $a_n>0$ . 然后对每个正整数 $n$ 定义

$$u_n(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0⩽x⩽x_n,\\ a_n,& x_n<x⩽1.\end{array}$$

然后定义 $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x),0<x<1$ , 并补充定义 $f(0)=-1,f(1)=1+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ . 证明: $f$ 是在 $[0,1]$ 上以所有有理点为其间断点的单调函数.

$17$. (有稠密间断点的导函数) 已知函数

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& \text{当}x\ne 0,\\ 0,& \text{当}x=0\end{array}$$

的导函数以 $x=0$ 为其(第二类)间断点（见上册$164$页).设 $\{r_n\}$ 为区间$(0,1)$内的所有有理点，构造在区间$(0,1)$上的函数项级数

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f(x-r_n)}{2^n},$$

将其和函数记为 $F$，用逐项微分定理求出导函数 $F^{\prime }$ ，并证明： $F^{\prime }$ 在 $(0,1)$ 内以每个 $r_n$ 为其第二类间断点，而在其他点上连续.

第十七章 高维空间中的点集与基本定理

本章的内容是 $\mathbf{R}$ 中的点集与实数系基本定理在 ${\mathbf{R}}^n$ 中的推广，这是研究多元函数的基础。在 §$17.1$ 依照位置关系与密切程度进行点和集合的分类，并讨论其基本性质。§$17.2$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的基本定理。最后一节是学习要点和两组参考题.