§$14.5$ 对于教学的建议

$\mathrm{14.5.1}$ 学习要点

1. 一致收敛性是函数项级数与函数列中最重要也是最困难的概念。对于这个概念的掌握需要花很大力气。初学者首先要能正确叙述“一致性”的有关论述，记住一些重要的反例，如函数列 $\{x^n\}$ 在 $[0,1]$ 上的一致收敛性讨论可以很形象地体现出“一致性”论述中的要点。其次，要能体会一致收敛性在将通项函数或函数列的分析性质“传递”给和函数或极限函数时的重要性。

2. 本章的一个难点是在函数项级数与函数列的概念中，同时出现了两个变量：正整数变量 $n$ 与连续变量 $x$ 。在处理收敛、一致收敛问题或讨论和函数与极限函数的分析性质时，学生往往不容易分辨清楚何时该将哪个变量看成常量。可以向学生强调的是，在考虑两个极限的累次极限时，计算第一个极限时，应该把另一个变量看作常量；同样，对极限 ${\lim }_{n\to \infty }\sup \{|S_n(x)-S(x)|\mid x\in E\}$ ，计算 $\sup \{|S_n(x)-S(x)|\mid x\in E\}$ 时，要把 $n$ 看作常数。另外，在讨论与点收敛有关的问题时， $x$ 可以看作常数，而讨论与一致收敛有关的问题时，则 $x$ 一般不能看作常数。

3. 尽管一致收敛性有很多判别法, 但最常用的一致收敛性判别法还是 $M$ -判别法. 能用多种手段找出优级数是一致收敛性判别法部分的基本教学要求.

4. 函数项级数的和函数的连续性、逐项求导、逐项积分等内容本质上是运算次序的交换。这里极限顺序交换的基本原理是很基本的一个事实，在一系列问题中起指导作用。

5. 和函数 (极限函数) 在一个区间上的局部分析性质, 如连续性、可微性等都可以通过在每一点的邻域上的讨论而得. 因此, 可以用内闭一致收敛取代一致收敛, 即使是求积分, 也可先考虑内闭区间上的逐项积分. 如证明 $Riemann$ 的 $zeta$ -函数 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上的无穷次可微, 求积分

$${\int }_0^1\left(\sum _{n=1}^{\infty }{x}^n\ln x\right)\mathrm{d}x$$

的值等都是一些典型的例子.

6. 一般项的函数项级数的讨论可围绕一些重要的例子, 如 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^p}$ 等展开, 抓住重点, 举一反三.

7. 幂级数部分的教学除了以 $Abel$ 定理为中心的基本理论之外, 应注意应用能力的培养, 如间接展开、定积分计算、求重要级数的和等.

8. 幂级数是一种特殊的函数项级数, 因此, 本章前两节中关于函数项级数的一切结论, 对于幂级数都是适用的. 在教学中, 遇到需要用这些结论时, 可复习一下一般函数项级数的对应结论, 以起到温故知新的作用.

$\mathrm{14.5.2}$ 参考题

第一组参考题

1. 试举例：在 $[0,1]$ 上一致收敛于连续函数的函数列 $\{S_n(x)\}$ ，但每个 $S_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上处处不连续。

2. 用逐项求导方法写出函数 $\zeta (x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^x}$ 在 $(1,+\infty )$ 上的任意阶导数的表达式，并证明运算的合理性.

3. 证明 $Dirichlet$ 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{n^x}$ 的收敛域具有以下特性: 若存在 $x_1,x_2$ , 使 $x=x_1$ 时级数发散, 而当 $x=x_2$ 时级数收敛, 则一定存在 $r\in (-\infty ,+\infty )$ , 使 $x<r$ 时级数发散, 而 $x>r$ 时级数收敛.

4. 设 $f\in C[0,1]$ ，定义函数列 $S_n(x)=x^{n}f(x)$ ， $x\in [0,1]$ ， $n=1,2,\cdots$ ，证明： $\{S_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛的充分必要条件是 $f(1)=0$ .

5. 设数列 $\{r_n\}$ 是 $[0,1]$ 区间内的所有有理点的一个排列，证明函数

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{|x-r_n|}{3^n},x\in [0,1]$$

具有性质：(1) 处处连续；(2) 在 $[0,1]$ 的每个无理点处可微，而在每个有理点处不可微.

6. 设函数 $f$ 在区间 $[0,1]$ 上无穷次可微且不恒等于 $0,f^{(n)}(0)=0,n=0,1,\cdots$ . 如果函数列 $\{a_n{f}^{(n)}\}$ 在区间 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$, 其中 $\{a_n\}$ 为一给定的数列, 证明: ${\lim }_{n\to \infty }n!a_n=0$ .

7. 用幂级数方法证明级数乘积的一个基本结果 (即命题 $\mathrm{13.3.7}$ ): 设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n,{\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ 和它们的 $Cauchy$ 乘积 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n$ 均收敛, 且分别以 $A,B,C$ 为和, 则 $C=AB$ .

8. 求下列函数的 $Maclaurin$ 展开式: (1) $\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$ ; (2) $\frac{\ln (x+\sqrt{1+x^2})}{\sqrt{1+x^2}}$ ;

(3) ${\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)}^2$ (函数在点 $x=0$ 处用极限值定义).

9. 设数列 $\{a_n\}$ 有极限 $L$ , 证明: $f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $(-1,1)$ 上有定义, 且 ${\lim }_{x\to 1^{-}}(1-x)f(x)=L$ .

10. 设多项式序列 $\{P_n\}$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛于 $P$ , 证明: $P$ 也是多项式.

11. 设 $\{P_n\}$ 是次数不超过 $D$ 的多项式序列, 证明: 若该序列于区间 $[0,1]$ 上收敛, 则也一定一致收敛.

12. 设 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 为 $f$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的 $Maclaurin$ 级数展开式, 证明: ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上一致收敛的充分必要条件是 $f$ 为多项式.

13. 设 $C(a)$ 为 $(1+x{)}^a$ 的 $Maclaurin$ 级数展开式中 $x^{2003}$ 项的系数, 计算积分 ${\int }_0^{1}C(-y-1)\left(\frac{1}{y+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y+3}+\cdots +\frac{1}{y+2003}\right)\mathrm{d}y.$

14. 求级数和 ${\sum }_{m=1}^{\infty }{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{m^{2}n}{3^m(n{3}^m+m{3}^n)}$ .

15. 甲乙两人掷骰子, 两人依次轮流掷并且由甲掷第一次, 问第一个六点由甲掷出的概率是多少?

16. 某侨商捐资给母校设立奖学基金. 该基金存入银行, 每年可以得到 $a\%$ 的利息. 奖学金按如下数目发放: 基金存入银行当日发放一万元, 第二年同一天发放二万元, 以后每年同一日发放, 发放金额比前一年多一万元. 要使这笔奖学金能够永远按此规律发放下去, 该侨商至少应捐资多少元?

第二组参考题

1. 设 $\{f_n\}$ 是在 $[a,b]$ 上的可积函数列，且于 $[a,b]$ 上一致有界，若已知 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上收敛，证明：积分值所成的数列必有极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\int }_a^b{f}_n$ .

2. 若在 $[a,b]$ 上的可积函数列 $\{f_n\}$ 一致收敛于极限函数 $f$ , 证明: $f\in R[a,b]$ , 且有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x.$$

3. 设具有相同单调性的单调函数列 $\{f_n\}$ 在区间 $[a,b]$ 上收敛于 $f\in C[a,b]$ ，则 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛.

4. 设 $\{f_n\}$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数列，并已知对于每个 $x\in [a,b]$ ，数列 $\{f_n(x)\}$ 单调增加收敛于 $f(x)$ 。证明：$f$ 在 $[a,b]$ 上必有最小值。又问：若将最小值换为最大值，或将 $[a,b]$ 换为 $(a,b)$ ，则结论如何？

5. 设 $\{f_n\}$ 为 $[a,b]$ 上的连续可微函数列，且存在 $\{x_n\}\subset [a,b]$ ，使 $f_n(x_n)=x_n,n=1,2,\cdots$ 。如果导函数列 $\{f_n^{\prime }\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，证明：

(1) 函数列 $\{f_n\}$ 有子列 $\{f_{n_k}\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛;

(2) 设 $\{f_{n_k}\}$ 的极限函数为 $f$，则存在 $x_0\in [a,b]$ ，使 $f(x_0)=x_0$ .

(3) $f$ 在 $[a,b]$ 上连续可微，且在 $[a,b]$ 上 $f^{\prime }(x)={\lim }_{n\to \infty }{f}_n^{\prime }(x)$ .

6. 设在区间 $[a,b]$ 上的连续函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ , ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n(x)$ 的通项之间满足条件 $|u_n(x)|⩽v_n(x)$ , $n=1,2,\cdots$ , 又设 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{v}_n(x)$ 的和函数在 $[a,b]$ 上连续, 证明: ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 的和函数也在 $[a,b]$ 上连续.

7. 证明: 对任意 $n$ 和 $x$ 成立不等式 $\left|{\sum }_{k=1}^n\frac{\sin kx}{k}\right|⩽2\sqrt{\pi }$ .

8. 利用幂级数展开证明 (上册 $374$ 页的题 $15$) 不等式:

$$0<\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}-x<\frac{x^3}{3(1-x^2)},0<x<1.$$

9. 利用幂级数展开证明：对一切 $n\in N_{+}$ 和实数 $x$ 成立不等式：

$$\left|{\mathrm{e}}^x-{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\right|⩽{\mathrm{e}}^{|x|}-{\left(1+\frac{|x|}{n}\right)}^n<\frac{x^2{\mathrm{e}}^{|x|}}{2n}.$$

10. 设级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 的部分和数列为 $S_n=a_0+a_1+\cdots +a_n,{\sigma }_n=(S_0+S_1+\cdots +S_{n-1})/n,n=0,1,\cdots$ ，且有极限 ${\lim }_{n\to \infty }{\sigma }_n=S,$ 即级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n$ 的 $Ces\grave{a}ro$ 和为 $S$ （参见 $39$ 页上第十三章末的几个参考题），证明：

(1) ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $(-1,1)$ 上收敛;

(2) 在 $(-1,1)$ 上成立 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=(1-x{)}^2{\sum }_{n=0}^{\infty }(n+1){\sigma }_{n+1}{x}^n;$

(3) 记 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ , $x\in (-1,1)$ , 则有 ${\lim }_{x\to 1^{-}}S(x)=S$ .

11. 设 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 为正数数列, 幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $1$ , 且在 $x=1$ 处发散. 如果 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{b_n}{a_n}=A$ , 证明:

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n}{{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n}=A.$$

12. 证明: 如果正项级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n=A$ , 则 ${\lim }_{x\to 1^{-}}\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n\right)=A$ .

(本题为上题之特例, 但也可以用其他方法做.)

13. 设 $f$ 在区间 $[0,r]$ 上无限次可微, 且 $f$ 及其所有导函数都是非负的, 证明: $f$ 的 $Maclaurin$ 级数展开式在 $[0,r)$ 上成立:

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n.$$

14. (生成函数法) 设 $\{a_n\}$ 为 $Fibonacci$ 数列: $a_0=a_1=1,a_n=a_{n-1}+a_{n-2},\forall n⩾2,$ 定义

$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\dots$$

为 $\{a_n\}$ 的生成函数. 试求出 $f$ , 并由此求出 $\{a_n\}$ 的解析表达式, 同时求出该数列的增长数: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}$ (参见上册 $48$ 页).

15. 利用上题的生成函数方法证明组合学中的 $Vandermonde$ (范德蒙德) 恒等式:

$$\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta }{n-k}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha +\beta }{n}\right),$$

并由此推出 ${\sum }_{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right).$

第十五章 $Fourier$ 级数

$Fourier$ 级数是幂级数之外的另一类重要的函数项级数, 它的出现对于现代数学的理论发展和实际应用都有重大意义. 本章只讨论 $Fourier$ 级数理论的一些基础知识. §$15.1$ 为有关 $Fourier$ 系数的各种性质. §$15.2$ 讨论 $Fourier$ 级数在各种意义下的收敛性问题. 最后一节为学习要点和参考题.