§$1.2$ 书中常用记号

凡本书中用文字符号表示的数, 如未加说明, 均为实数. 对于实数, 本书一开始采取与中学教材中相同的理解, 即可以用十进有尽小数和无尽小数表示的数.

$1$. $N_{+}$ ：所有正整数所成的集合.

$2$. $R$: 所有实数所成的集合 (同时也用于表示无限区间 $(-\infty ,+\infty )$ ).

$3$. $Q$: 所有有理数所成的集合.

$4$. $C$: 所有复数所成的集合.

$5$. $⟺$ 是等价关系的记号. $A⟺B$ 表示 $A$ 和 $B$ 等价. 例如, $A$ 代表 $x>3$ , $B$ 代表 $x-3>0$ , 则 $x>3⟺x-3>0$ .

$6$. $[x]$ 是实数 $x$ 的整数部分, 即不超过 $x$ 的最大整数. 例如 $[\sqrt{2}]=1$ , $[-\sqrt{2}]=-2$ . 关于 $[x]$ 的基本不等式是: $[x]⩽x<[x]+1$ , 或 $x-1<[x]⩽x$ .

$7$. □表示一个证明或解的结束.

$8$. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=C_n^k=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}$ .

$9$. 记号 $\approx$ 表示近似值. 例如 $\sqrt{2}\approx 1.4$ .

$10$. 复合函数 $f(g(x))$ 也写成 $(f\circ g)(x)$ 或 $f\circ g$ .

$11$. 若 $A$ 和 $B$ 为两个集合, 则用记号 $A-B$ 或 $A\setminus B$ 表示 $A$ 与 $B$ 的差集, 也就是集合 $\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\notin B\}$ .

$12$. 用 $O_{\delta }(a)$ 表示以 $a$ 为中心, 以 $\delta >0$ 为半径的邻域. 它就是开区间 $(a-\delta ,a+\delta )$ (也可用 $U_{\delta }(a)$ 等记号). 如不必指出半径, 则可简记为 $O(a)$ (或 $U(a)$ ).