§11.1 积分学在几何计算中的应用

11.1.1 基本公式与方法

对于平面图形的面积计算，除了可以用几个曲边梯形面积的代数和来计算之外，还可以用下面两个公式，它们在许多问题中比直角坐标下的公式要方便。

面积公式列表

1. 设没有自交点的平面封闭曲线的参数方程为 $x=x(t),y=y(t),t\in [\alpha ,\beta ]$ ，当 $t$ 从 $\alpha$ 增加到 $\beta$ 时，点 $(x(t),y(t))$ 以逆时针方向绕闭曲线一周，则该闭曲线所围面积为

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }(x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x).\text{\hspace{1em}(11.1)}$$

这个公式实际上是下册的 §24.3 中关于第二型曲线积分的 $Green$ (格林) 公式的特例. 对于比较简单的情况将在下面给出证明.

2. 在极坐标中由射线 $\theta ={\theta }_1,\theta ={\theta }_2$ (其中 ${\theta }_1<{\theta }_2$ ) 与连续曲线 $\rho =\rho (\theta )$ 围成的扇形面积为

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}{\rho }^2(\theta )\mathrm{d}\theta .\text{\hspace{1em}(11.2)}$$

在一定的条件下，利用一元函数定积分还可以计算某些三维形体的体积和侧面积. 这些公式以及求曲线弧长的公式在一般教科书中都有，这里不再列出.

需要学习的是导出这些公式中所用的方法.

关于体积与侧面积公式的严格讨论，要以多元微积分为基础才能进行. 在现阶段，它们的推导是基于微元法. 这种方法虽然并不完全严格，但被广泛用于计算分布在区间 $[a,b]$ 上的几何量以及物理量，其中实际上包含了两个内容:

以直代曲法

计算分布在充分小的区间 $[x,x+\Delta x]\subseteq [a,b]$ 上的部分几何量时，对那些当 $\Delta x\to 0$ 时，其长度趋于 $0$ 的曲线段，可以用连接曲线端点的直线段来代替进行计算. 如果由此得到的量可表示为 $f(\xi )\Delta x$ ，其中 $\xi \in [x,x+\Delta x]$ ，则所求的几何量为 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ .

舍弃高阶无穷小量法

如果存在 $M>0,p>1$ ，使在任一充分小的区间 $[x,x+\Delta x]\subseteq [a,b]$ 上，成立

$$|g(\eta )\Delta x-f(\xi )\Delta x|⩽M(\Delta x{)}^p,$$

其中 $\eta ,\xi \in [x,x+\Delta x]$ ，$f(\xi )\Delta x$ 为用以直代曲法得出的部分量，则所求的几何量也可写成积分 ${\int }_a^{b}g$ . 在对具体问题应用舍弃高阶无穷小量法时，我们往往取 $p=2$ .

11.1.2 例题

公式(11.1)的证明

平面图形的面积计算公式 (11.1) 往往很有用。由于目前的各种教科书在定积分应用部分不一定都有介绍，因此我们在这里仿照 [42] 给出简单情况下的一个证明，其中假定运算所需要的连续和可微等条件均满足。

如图 11.1所示的一条封闭曲线由参数方程 $x=x(t),y=y(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$ 所描述。当 $t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ 时，点 $(x(t),y(t))$ 从 $A$ 点出发按逆时针方向经过 $B$ 点绕曲线一周回到 $A$ 点。设 $A,B$ 两点的横坐标分别是函数 $x(t)$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上的最小值和最大值。 $A$ 点对应的参数值是 $\alpha$ 和 $\beta ,B$ 点对应的参数值为 $\gamma$ 。设从 $A$ 点到 $B$ 点的两段曲线在直角坐标下的方程为 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ ， $a⩽x⩽b$ ，且如图所示在区间 $(a,b)$ 上有 $f_2(x)>f_1(x)$ 。

图11.1

这样就可以计算封闭曲线所包含的图形面积如下:

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_a^b[f_2(x)-f_1(x)]\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{\beta }^{\gamma }y(t)\mathrm{d}x(t)-{\int }_{\alpha }^{\gamma }y(t)\mathrm{d}x(t)=-{\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\mathrm{d}x(t),\end{array}$$

由分部积分又可得到

$$S=-y(t)x(t){|}_{\alpha }^{\beta }+{\int }_{\alpha }^{\beta }x(t)\mathrm{d}y(t)={\int }_{\alpha }^{\beta }x(t)\mathrm{d}y(t).$$

取两者的平均值就得到公式 (11.1).

注 1

从证明中可见实际上得到了计算面积 $S$ 的三个公式. 但是将前两个取平均值后得到的公式 (11.1) 在计算中一般较为方便, 这从下面举例就可明白. 此外, 如前所说, 该公式对于一般的没有自交点的参数曲线都是成立的.

注 2

由于极坐标下的 $\theta$ 就可看成为参数, 因此完全可以从公式 (11.1) 推导出极坐标下的扇形面积计算公式 (11.2) (留作为 11.1.4 小节的练习题2).

例 11.1.1

求由方程 $x^2+xy+y^2=1$ 所确定的图形面积.

这就是求 $174$ 页上图 $6.5$ 所示椭圆的面积. 容易想到的一种思路是: 先用解析几何中的转轴方法消去交叉项, 由此确定椭圆的长、短半轴, 最后用简单的定积分计算即可求出椭圆面积. 以下是不用转轴的几种积分解法.

解1

从方程解出

$$y_{1,2}(x)=-\frac{x}{2}\pm \sqrt{1-\frac{3}{4}{x}^2},-\frac{2}{\sqrt{3}}⩽x⩽\frac{2}{\sqrt{3}},$$

然后计算定积分

$$\begin{array}{l}S={\int }_{-2/\sqrt{3}}^{2/\sqrt{3}}[y_1(x)-y_2(x)]\mathrm{d}x=2{\int }_{-2/\sqrt{3}}^{2/\sqrt{3}}\sqrt{1-\frac{3}{4}{x}^2}\mathrm{d}x\\ =\frac{4}{\sqrt{3}}{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta =\frac{2\pi }{\sqrt{3}}.\end{array}$$

解2

用极坐标, 以 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ 代入方程, 得到

$$r^2=\frac{1}{1+\sin \theta \cos \theta }.$$

用公式 (11.2) 计算定积分:

$$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }{r}^2\mathrm{d}\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\theta }{1+\frac{1}{2}\sin 2\theta }={\int }_0^{2\pi }\frac{\mathrm{d}\phi }{2+\sin \phi }=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}.$$

注 1

一个更简单的方法是: 从表达式 $r^{-2}=1+\frac{1}{2}\sin 2\theta$ 出发, 求出 $r$ 的最大值和最小值, 即椭圆的长半轴和短半轴, 然后利用椭圆面积公式就可计算出 $S$.

解3

先将方程左边配方为

$$x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}{x}^2+{\left(y+\frac{x}{2}\right)}^2=1,$$

然后引入参数方程

$$x=\frac{2}{\sqrt{3}}\cos t,y=\sin t-\frac{1}{\sqrt{3}}\cos t,0⩽t⩽2\pi .$$

由于

$$\begin{array}{l}x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t)\\ =\frac{2}{\sqrt{3}}\cos t\left(\cos t+\frac{1}{\sqrt{3}}\sin t\right)-\left(\sin t-\frac{1}{\sqrt{3}}\cos t\right)\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\sin t\right)\\ =\frac{2}{\sqrt{3}},\end{array}$$

因此最后的定积分计算极其简单:

$$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }(x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x)=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{d}t=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}.$$

注 2

在 [59] 第二册的习题 $2406$ 的讲解中, 列举了求椭圆

$$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2=1(A>0,\Delta =AC-B^2>0)$$

所围面积的 $10$ 种解法, 其中解 $8$ 和解 $9$ 是多元微积分知识的应用, 解 $10$ 则是代数方法. 此外, 还对于这些解法能否推广做了一点评论.

例 11.1.2

求由 $y^2-2xy+x^3=0$ 所确定的封闭曲线所包围的图形面积.

分析 为了知道图形的形状，需要找出 $y$ 随 $x$ 变化的规律. 为此需要引入参数. 令 $y=tx$ 是常用的方法. 这样就可以得到参数方程:

$$x=2t-t^2,y=2t^2-t^3.$$

首先分析 $x=x(t)$ 和 $y=y(t)$ 的变化情况，然后就不难合成 $xOy$ 坐标平面上的曲线. 利用这些分析就可以画出题设的曲线图形如图11.2所示. (参看例题8.6.1中对于类似问题的分析.) 当变量 $t$ 从0到2时点 $(x(t),y(t))$ 从原点出发又回到原点，恰好按照逆时针方向描出图中的一条封闭曲线.

图11.2

解1

利用直角坐标下的公式. 由于不难从方程直接解出

$$y_{1,2}(x)=x(1\pm \sqrt{1-x}),0⩽x⩽1,$$

因此就有

$$\begin{array}{l}S={\int }_0^1(x+x\sqrt{1-x})\mathrm{d}x-{\int }_0^1(x-x\sqrt{1-x})\mathrm{d}x=2{\int }_0^{1}x\sqrt{1-x}\mathrm{d}x\\ =2{\int }_0^1(1-t)\sqrt{t}\mathrm{d}t=2\left(\frac{2}{3}{t}^{3/2}-\frac{2}{5}{t}^{5/2}\right){|}_0^1=\frac{8}{15}.\end{array}$$

解2

用公式(11.1):

$$\begin{array}{rl}& S=\frac{1}{2}{\int }_0^2(x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x)=\frac{1}{2}{\int }_0^2[(2t-t^2)\mathrm{d}(2t^2-t^3)-(2t^2-t^3)\mathrm{d}(2t-t^2)]\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^2(4t^2-4t^3+t^4)\mathrm{d}t=\frac{8}{15}.\end{array}$$

例 11.1.3

设曲线方程为 $y={\int }_0^x\sqrt{\sin t}\mathrm{d}t,0⩽x⩽\pi ,$ 求曲线的长度.

解

记方程为 $y=f(x)$ ，由弧长公式计算定积分：

$$\begin{array}{rl}& l={\int }_0^{\pi }\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }\sqrt{1+\sin x}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\pi }\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x\text{(作代换}t=\frac{x}{2})\\ & =2\left({\int }_0^{\pi /2}\sin t\mathrm{d}t+{\int }_0^{\pi /2}\cos t\mathrm{d}t\right)=4{\int }_0^{\pi /2}\sin t\mathrm{d}t=4.\end{array}$$

例 11.1.4

求双曲抛物面 $z=x^2-y^2$ 与平面 $x=1,z=0$ 所围成的立体体积.

分析 如图 11.3 所示, 该立体不是旋转体. 我们将用两种方法求解. 先计算平行于坐标平面 $yOz$ 的平面或平行于坐标平面 $xOy$ 的平面截立体所得的面积 $A(x)$ 或 $B(z)$, 然后计算定积分

$${\int }_0^{1}A(x)\mathrm{d}x\text{或}{\int }_0^{1}B(z)\mathrm{d}z$$

得到所论立体的体积

图11.3

解1

$x$ 的变化范围是 $0⩽x⩽1$ . 对每个固定的 $x\in [0,1]$ ，计算截面积 $A(x)$ 时， $z=x^2-y^2$ 成为抛物线的方程，其中 $y\in [-x,x]$ . 从而得到

$$\begin{array}{rl}A(x)& =2{\int }_0^x(x^2-y^2)\mathrm{d}y\\ & =2\left(x^3-\frac{1}{3}{x}^3\right)=\frac{4}{3}{x}^3.\end{array}$$

因此, 所求的体积为

$$V=\frac{4}{3}{\int }_0^1{x}^3\mathrm{d}x=\frac{1}{3}.$$

解2

$z$ 的变化范围也是 $0⩽z⩽1$ ，这可由 $x=1$ 时 $z=1-y^2$ ，而 $|y|⩽1$ 得到. 计算 $B(z)$ 时, 也应把 $z$ 看作在 $[0,1]$ 上取值的固定数, 于是 $z=x^2-y^2$ 成为双曲线方程 $y^2=x^2-z$ ， $x\in [\sqrt{z},1]$ 或 $y=\pm \sqrt{x^2-z}$ ， $x\in [\sqrt{z},1]$ . 这样, $B(z)$ 便是平面 $Z=z$ 上的上述双曲线与 $x=1$ 围成的弓形面积, 因此利用图形关于 $x$ 轴的对称性, 可以计算得到

$$\begin{array}{rl}& B(z)=2{\int }_{\sqrt{z}}^1\sqrt{x^2-z}\mathrm{d}x=\left(x\sqrt{x^2-z}-z\ln \left(x+\sqrt{x^2-z}\right)\right){|}_{\sqrt{z}}^1\\ & =\sqrt{1-z}-z\ln \left(1+\sqrt{1-z}\right)+z\ln \sqrt{z}.\end{array}$$

因此所求的体积为

$$\begin{array}{l}V={\int }_0^{1}B(z)\mathrm{d}z\\ ={\int }_0^1\sqrt{1-z}\mathrm{d}z-{\int }_0^{1}z\ln \left(1+\sqrt{1-z}\right)\mathrm{d}z+{\int }_0^{1}z\ln \sqrt{z}\mathrm{d}z.\end{array}$$

显然这三个积分的计算要比解1中的计算复杂得多(细节从略)，最后结果为

$$V=\frac{2}{3}-\frac{5}{24}-\frac{1}{8}=\frac{1}{3}.$$

注

由此可见, 在利用平行的截面面积求体积的问题中, 选择合适的截面是十分重要的. 请读者考虑, 本题如果通过用平行于坐标平面 $xOz$ 的平面去截所论立体, 先计算与 $y$ 有关的截面积后再积分的方法求体积, 计算过程是否简便?

11.1.3 Guldin定理

质心是一个物理量. $Guldin$ (古尔丁) 的第一和第二定理将求旋转体的体积和侧面积转化为求质心, 体现了数学问题与物理问题之间的内在联系.

命题 11.1.1 (质心公式)

设密度均匀的平面图形分布在直线 $X=a,X=b$ 和 $Y=c,Y=d$ 之间，且对任一 $x\in [a,b]$ 和 $y\in [c,d]$ ，直线 $X=x$ 和 $Y=y$ 截图形的线段长度为 $s(x)$ 和 $t(y)$ ，则图形的质心的横坐标与纵坐标分别为

$$x_c=\frac{{\int }_a^{b}xs(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}s(x)\mathrm{d}x},y_c=\frac{{\int }_c^{d}yt(y)\mathrm{d}y}{{\int }_c^{d}t(y)\mathrm{d}y};\text{\hspace{1em}(11.3)}$$

而密度均匀的分段光滑曲线 $y=f(x)(a⩽x⩽b)$ 的质心的横坐标与纵坐标分别为

$$x_c=\frac{{\int }_a^{b}x\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x},y_c=\frac{{\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x}.\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

由上面的质心公式，可以得到下面两条定理 (证明见 [59] 第二册 §4.9).

命题 11.1.2 (Guldin第一定理)

设平面曲线的质心坐标为 $(x_c,y_c)$ ，且曲线位于右半平面内，则曲线绕 $y$ 轴旋转一周所产生的旋转曲面的面积 $S_y$ 等于质心绕 $y$ 轴一周所经过的路程 $2\pi x_c$ 乘以曲线的弧长 $l,$ 即 $S_y=2\pi x_{c}l.$

命题 11.1.3 (Guldin第二定理)

设平面图形的质心坐标为 $(x_c,y_c)$ ，且图形位于右半平面内，则图形绕 $y$ 轴旋转一周所产生的旋转立体的体积 $V_y$ 等于质心绕 $y$ 轴一周所经过的路程 $2\pi x_c$ 乘以图形的面积 $S$，即 $V_y=2\pi x_{c}S$ .

例 11.1.5

设曲线 $y=f(x)(a⩽x⩽b)$ 分段光滑. 求曲边梯形

$$\{(x,y)\mid 0⩽a⩽x⩽b,0⩽y⩽f(x)\}$$

绕 $y$ 轴旋转一周得到的旋转体体积.

解1

由微元法, 对曲边梯形在充分小的区间 $[x,x+\Delta x]\subseteq [a,b]$ 上的部分, 取 $\xi \in [x,x+\Delta x]$ . 我们用过点 $(\xi ,f(\xi ))$ 而平行于 $x$ 轴的直线段代替 $y=f(x)$ 的对应曲线段, 然后将所得到的矩形绕 $y$ 轴旋转一周, 这样得到的旋转体体积为

$$\Delta V=\pi f(\xi )[(x+\Delta x{)}^2-x^2]=\pi f(\xi )[2x\Delta x-(\Delta x{)}^2],$$

舍弃高阶无穷小量 $\pi f(\xi )(\Delta x{)}^2$ 后在 $[a,b]$ 上积分，就得到旋转体体积

$$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x.$$

解2

由 $Guldin$ 第二定理, 曲边梯形 $\{(x,y)\mid 0⩽a⩽x⩽b,0⩽y⩽f(x)\}$ 绕 $y$ 轴旋转一周得到的旋转体体积等于曲边梯形的质心 $(x_c,y_c)$ 绕 $y$ 轴一周所经过的路程 $2\pi x_c$ 乘以图形的面积 $S$ , 即有

$$V=2\pi x_{c}S.\text{\hspace{1em}(11.5)}$$

将质心公式 (11.3) 中关于 $x_c$ 的公式与曲边梯形的面积公式 $S={\int }_a^{b}f$ 代入 (11.5), 便得到

$$V=2\pi \cdot \frac{{\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}\cdot {\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x.$$

例 11.1.6

求上题的旋转体中由曲线 $y=f(x)$ ( $a⩽x⩽b$ ) 生成的侧面积.

解1

由以曲代直法, 曲线 $y=f(x)$ 在充分小的区间 $[x,x+\Delta x]\subseteq [a,b]$ 上的曲线段绕 $y$ 轴旋转一周得到的面积可用连接点 $(x,f(x))$ 与点 $(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ 的直线段绕 $y$ 轴旋转一周得到的圆台的侧面积来代替, 即

$$\begin{array}{r}\Delta S_{\mathrm{侧}}=2\pi \cdot \frac{1}{2}[x+(x+\Delta x)]\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta f(x){)}^2}\\ =2\pi \cdot \frac{1}{2}[x+(x+\Delta x)]\sqrt{1+{\left(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\right)}^2}\Delta x.\end{array}$$

舍弃高阶无穷小量 $\pi \sqrt{1+{\left(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\right)}^2}(\Delta x{)}^2$ 后在 $[a,b]$ 上积分，得旋转体侧面积

$$S_{\text{侧}}=2\pi {\int }_a^{b}x\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x.$$

解2

由 $Guldin$ 第一定理, 所求的侧面积等于曲线段 $y=f(x)(a⩽x⩽b)$ 的质心 $(x_c,y_c)$ 绕 $y$ 轴一周所经过的路程 $2\pi x_c$ 乘以曲线的弧长 $l$ , 即有

$$S_{\text{侧}}=2\pi x_{c}l.\text{\hspace{1em}(11.6)}$$

将弧长公式 $l={\int }_a^b\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}\mathrm{d}x$ 与质心公式(11.4)中 $x_c$ 的公式代入(11.6)，便得到

$$S_{\text{侧}}=2\pi {\int }_a^{b}x\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}\mathrm{d}x.$$

11.1.4 练习题

由于在习题集 [27] (及其学习指引 [59]) 和各种教科书中都有许多几何计算题可用，因此本节只收入少量练习题作为补充.

1. 设椭圆方程为 $A{x}^2+2Bxy+C{y}^2=1$ ，其中 $A>0,\Delta =AC-B^2>0$ . 试用例题 $\mathrm{11.1.1}$ 中的第三种方法（即公式(11.1)）证明：由该椭圆所围的面积等于 $\pi /\sqrt{\Delta }$ .

2. 试以公式 (11.1) 为出发点，推导出极坐标下的扇形面积计算公式 (11.2).

3. 已知三个半径为 $r$ 的圆，其中每个圆的圆周都通过另外两个圆的圆心，求三个圆公共部分的面积.

   (本题有不用微积分的初等解法.)

4. 周长一定的等腰三角形，腰与底的比例为多少时，它绕底边旋转所得的旋转体体积最大?

5. 半轴长为 $a$ 和 $b$ 的一个椭圆在曲线 $y=c\sin (x/a)$ 上进行无滑动的滚动. 问 $a,b,c$ 之间的关系怎样时，椭圆在曲线上滚动了曲线的一个周期时，它正好转了一周?

6. 在单位圆周上任意取一段位于第一象限且长度为 $s$ 的弧，设位于该弧下方、 $x$ 轴上方的曲边梯形的面积为 $A$ ，而位于该弧左侧、 $y$ 轴右侧的曲边梯形的面积为 $B$ . 证明: $A+B$ 只依赖于弧的长度 $s$ ，而与弧的位置无关.

7. 试求由抛物线 $y^2=2x$ 与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值.

8. 至少用两种方法计算下列三个圆的公共部分的面积:

   $$x^2+y^2⩽4,(x-2{)}^2+y^2⩽4,x^2+(y-2{)}^2⩽4.$$

9. 求椭圆柱 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{100}⩽1$ 夹在平面 $z=0,y=2z$ 之间部分的体积.

10. 求圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与 $x^2+z^2=a^2$ 所围立体区域的体积.

    (这个立体区域在中国古代数学史上称为牟合方盖, 它是刘徽在研究球体积计算问题中提出来的, 见 [35]. 在这之前, $Archimedes$ 在其著作《方法》的命题 $15$ 中已经给出了这个立体区域的体积计算 (参见 [60] 的 $192$ 页). )