圆上点到直线 ℓ 距离为定值 m 的个数问题是高考的热点和难点. 对于此类问题, 我们只需研究直线 ℓ 的两条等距线 (与 ℓ 的距离都为 m ) 与圆的交点个数问题. 因为直线与圆的交点个数可能为 2, 1, 0, 所以圆上点到直线 ℓ 距离为定值 m 的个数可能为 4, 3, 2, 1, 0.
下面我们依次来讨论每种情形的等价条件, 核心方法都一致. 首先, 我们找到与直线 ℓ 平行的两条切线以及它们与 ℓ 之间的距离. 然后, 根据点的个数来确定直线 ℓ 的两条等距线的位置.
(1) 若圆上有 4 个点到定直线的距离为定值 m , 则 ℓ 与圆必相交且与它间距为 m 的两条直线都与圆相交, 如图 4-30 所示, 这等价于 {m<r+dm<r−d , 即等价于 r>d+m .
(2) 若圆上恰有 3 个点到定直线的距离为定值 m , 则 ℓ 与圆必相交且它的两条间距为 m 的直线, 一条与圆相交, 另一条与圆相切, 如图 4-31 所示. 因此它等价于 {m=r−dm<r+d , 即此时等价于 r=d+m .
(3) 若圆上恰有 2 个点到定直线的距离为定值 m , 这种情形比较复杂, 我们需要分类讨论.
① 若 ℓ 与圆相离, 则与 ℓ 间距为 m 的两条直线中, 有一条与圆必相离. 又因为圆上恰有 2 个点到定直线的距离为 m , 所以另外一条直线与圆相交, 如图 4-32 所示, 这等价于 0<d−r<m<d+r .
图4-30
图4-31
② 若 ℓ 与圆相切, 跟上面一模一样地讨论, 如图4-33所示, 故 0<m<2r , 因为 d=r , 故又可写成 d−r<m<d+r .
③若 ℓ 与圆相交, 则与 ℓ 间距为 m 的两条直线中, 一条与圆相交, 另一条与圆相离, 如图4-34所示, 故 0<r−d<m<r+d .
观察①②③, 发现它们可以统一成 ∣r−d∣<m<r+d , 等价于
{−m<r−d<mm<r+d⟹{d−m<r<m+dr>m−d⟹∣d−m∣<r<d+m.
图4-32
图4-33
图4-34
(4) 若圆上恰有 1 个点到定直线的距离为定值 m , 跟情形 (3) 类似地讨论可得 m=d−r 或 m=d+r , 即 r=d−m 或 r=m−d , 可以统一为 r=∣d−m∣ , 细节请同学们自己补充.
(5) 若圆上不存在点到定直线的距离为定值 m , 跟情形 (3) 类似地讨论可得 m<d−r 或 m>d+r , 即 r<d−m 或 r<m−d , 可以统一为 r<∣d−m∣ , 细节也请同学们自己补充.
将上述的讨论总结如下: