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2.5 解三角形的实际应用

在实践中, 我们经常会遇到测量距离、高度、角度等的实际问题. 具体测量时, 常常会遇到 “不能到达” 的困难. 首先, 我们看看 “底部不可达” 的高度测量问题.

∠ACB=α,∠ADB=β,CD=a,\angle A C B = \alpha , \angle A D B = \beta , C D = a,

则 AB=atan⁡αtan⁡βtan⁡β−tan⁡αAB = \frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta - \tan\alpha}


图2-11

🔑 查看解析与步骤

在 Rt△ABC 中, 由 tan⁡α=ABBC\tan\alpha=\frac{AB}{BC} , 可得 BC=ABtan⁡αBC=\frac{AB}{\tan\alpha} , 同理在 Rt△ABD 中, 得 BD=ABtan⁡βBD=\frac{AB}{\tan\beta} , 故 BC-BD= ABtan⁡α−ABtan⁡β\frac{AB}{\tan\alpha}-\frac{AB}{\tan\beta} , 解得 AB=atan⁡αtan⁡βtan⁡β−tan⁡αAB=\frac{a\tan\alpha\tan\beta}{\tan\beta-\tan\alpha} .

知识点2.5中的结论无需记住, 但需要掌握它的推导过程. 为了节省篇幅, 在接下来的例题和变式中, 我们将直接应用这个结论. 但是, 在进行个人练习时, 请记得先推导出该结论.

✍️ 例 2.34

(2014 四川理 13) 如图 2-12 所示, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75∘,30∘75^{\circ}, 30^{\circ} , 此时气球的高是 60m, 则河流的宽度 BC 等于 ____ m.

🔑 查看解析与步骤

如图2-13所示,由题意知 ∠ACD=30∘,∠ABD=75∘\angle ACD = 30^{\circ},\angle ABD = 75^{\circ} ，则 AD=BCtan⁡∠ACDtan⁡∠ABDtan⁡∠ABD−tan⁡∠ACD,AD = \frac{BC\tan\angle ACD\tan\angle ABD}{\tan\angle ABD - \tan\angle ACD}, BC=AD(tan⁡∠ABD−tan⁡∠ACD)tan⁡∠ACDtan⁡∠ABD=60(tan⁡75∘−tan⁡30∘)tan⁡30∘tan⁡75∘=120(3−1).BC = \frac{AD(\tan\angle ABD - \tan\angle ACD)}{\tan\angle ACD\tan\angle ABD} = \frac{60(\tan75^{\circ} - \tan30^{\circ})}{\tan30^{\circ}\tan75^{\circ}} = 120(\sqrt{3} -1). 故填 120(3−1).120(\sqrt{3} -1).


图2-12


图2-13

🎯 变式 2.34.1

(2021 全国乙理 9) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海岛的高. 如图 2-14 所示, 点 E, H, G 在水平线 AC 上, DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度, 称为 “表高”, EG 称为 “表距”, GC 和 EH 都称为 “表目距”, GC 与 EH 的差称为 “表目距的差”, 则海岛的高 AB = ( ). A. 表高 × 表距 + 表高 B. 表高 × 表距 - 表高 C. 表高 × 表距 + 表距 D. 表高 × 表距 - 表距


图2-14

例2.34及其变式属于知识点2.5中的“底部不可达”问题, 我们可以直接应用该问题的结论. 然而, 并不是所有的高度测量都符合这个模型. 如果不符合, 同学们只需要记住一点: 测量高度一定与解直角三角形有关. 请看下面的例题.

✍️ 例 2.35

(2021 全国甲理 8) 2020 年 12 月 8 日, 中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 (单位: m), 三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 图 2-15 是三角高程测量法的一个示意图, 现有 A, B, C 三点, 且 A, B, C 在同一水平面上的投影 A′,B′,C′A', B', C' 满足 ∠A′C′B′=45∘,∠A′B′C′=60∘\angle A'C'B' = 45^{\circ}, \angle A'B'C' = 60^{\circ} . 由 C 点测得 B 点的仰角为 15∘,BB′15^{\circ}, BB' 与 CC′CC' 的差为 100; 由 B 点测得 A 点的仰角为 45∘45^{\circ} , 则 A, C 两点到水平面 A′B′C′A'B'C' 的高度差 AA′−CC′AA' - CC' 约为 ( ). ( 3≈1.732\sqrt{3} \approx 1.732 )

A. 346

B. 373

C. 446

D. 473


图2-15


图2-16

🔑 查看解析与步骤

如图2-16所示, 过 CC 作 CD⊥BB′CD \perp BB' , 垂足为 DD , 过 DD 作 DE⊥AA′DE \perp AA' , 垂足为 EE , 连接 CECE , 过 BB 作 BF⊥AA′BF \perp AA' , 垂足为 FF , 则由题意可得 ∠BCD=15∘\angle BCD = 15^\circ , ∠ABF=45∘\angle ABF = 45^\circ , BD=BB′−CC′=100BD = BB' - CC' = 100 , AF=BFAF = BF , 所以 AA′−CC′=AF+EF=BF+BD=A′B′+100AA' - CC' = AF + EF = BF + BD = A'B' + 100 .

在 Rt△BCD 中, CD=BDtan⁡∠BCD=100tan⁡15∘CD = \frac{BD}{\tan \angle BCD} = \frac{100}{\tan 15^{\circ}} .

在 △A′B′C′\triangle A'B'C' 中， B′C′=CDB'C' = CD ， ∠B′A′C′=180∘−45∘−60∘=75∘\angle B'A'C' = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ ，由正弦定理得

B′C′sin⁡∠B′A′C′=A′B′sin⁡∠A′C′B′⟹A′B′=B′C′sin⁡∠A′C′B′sin⁡∠B′A′C′=100sin⁡45∘tan⁡15∘sin⁡75∘=502sin⁡15∘.\frac {B ^ {\prime} C ^ {\prime}}{\sin \angle B ^ {\prime} A ^ {\prime} C ^ {\prime}} = \frac {A ^ {\prime} B ^ {\prime}}{\sin \angle A ^ {\prime} C ^ {\prime} B ^ {\prime}} \Longrightarrow A ^ {\prime} B ^ {\prime} = \frac {B ^ {\prime} C ^ {\prime} \sin \angle A ^ {\prime} C ^ {\prime} B ^ {\prime}}{\sin \angle B ^ {\prime} A ^ {\prime} C ^ {\prime}} = \frac {1 0 0 \sin 4 5 ^ {\circ}}{\tan 1 5 ^ {\circ} \sin 7 5 ^ {\circ}} = \frac {5 0 \sqrt {2}}{\sin 1 5 ^ {\circ}}.

而 sin⁡15∘=sin⁡(45∘−30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘=6−24\sin 15^{\circ} = \sin (45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ} - \cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} ，所以

A′B′=502×46−2=100(3+1)≈273.A ^ {\prime} B ^ {\prime} = 5 0 \sqrt {2} \times \frac {4}{\sqrt {6} - \sqrt {2}} = 1 0 0 (\sqrt {3} + 1) \approx 2 7 3.

因 AA′−CC′=A′B′+100≈373AA' - CC' = A'B' + 100 \approx 373 . 故选 B.

🎯 变式 2.35.1

(2014 全国 I 文 16) 如图 2-17 所示, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角 ∠MAN=60∘\angle MAN = 60^{\circ} , C 点的仰角 ∠CAB=45∘\angle CAB = 45^{\circ} 以及 ∠MAC=75∘\angle MAC = 75^{\circ} , 从 ∼\sim 点测得 ∠MCA=60∘\angle MCA = 60^{\circ} . 已知山高 BC = 100m, 则山高 MN = ____ m.


图2-17

除了测量高度, 测量距离也在高考中出现过, 常见三种题型: 山两侧、河两岸、河对岸.

💡 知识点 2.6

(1) 山两侧 AB: 如图 2-18 所示, 选定一点 C, 测得 ∠ACB=α,AC=b,BC=a\angle ACB = \alpha, AC = b, BC = a , 则通过余弦定理得 AB=a2+b2−2abcos⁡αAB = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2ab \cos \alpha} . (2) 河两岸 AB: 如图 2-19 所示, 在 A 的对岸选定一点 C, 测得 ∠ACB=α,∠ABC=β,BC=a\angle ACB = \alpha, \angle ABC = \beta, BC = a , 则在 △ABC\triangle ABC 中已知两角和一边, 故可用正弦定理求出 AB. (3) 河对岸 AB: 如图 2-20 所示, 在 A, B 两点的对岸选定两点 C, D, 测得 CD = a, ∠ADC=α,∠BDC=β,∠BCD=γ,∠ACD=δ\angle ADC = \alpha, \angle BDC = \beta, \angle BCD = \gamma, \angle ACD = \delta , 则在 △ADC\triangle ADC 和 △BDC\triangle BDC 中都是已知两角和一边, 可用正弦定理分别求出 AC 和 BC, 从而在 △ABC\triangle ABC 中已知两边和夹角, 故用余弦定理可以求出 AB.


图2-18


图2-19


图2-20

✍️ 例 2.36

为了测量两山顶 M, N 间的距离, 飞机沿水平方向在 A, B 两点进行测量, A, B, M, N 在同一个铅锤面内, 如图 2-21 所示. 能够测量的数据有俯角和 A, B 间的距离. 请设计一个方案, 包括:

(I) 指出需要测量的数据 (用字母表示, 并在图中标出);

(Ⅱ) 用文字和公式写出计算 M, N 间的距离的步骤.

🧠 思路分析

M,NM, N 不可到达，飞机通过飞行可以测量 ABAB 的长度，且可以在 A,BA, B 两点分别测量到 M,NM, N 的俯角，明显这是“河对岸”模型.

🔑 查看解析与步骤

(I) 需要测量的数据有: 点 AA 到点 M,NM, N 的俯角 α1,β1\alpha_{1}, \beta_{1} ; 点 BB 到点 M,NM, N 的俯角 α2,β2;A,B\alpha_{2}, \beta_{2}; A, B 间的距离 dd (图 2-22).


图2-21
图2-22

(Ⅱ) 第一步: 计算 AMAM , 在 △ABM\triangle ABM 中, AB=dAB = d , ∠BAM=α1\angle BAM = \alpha_{1} , ∠ABM=α2\angle ABM = \alpha_{2} , 由正弦定理得

AMsin⁡∠ABM=ABsin⁡∠AMB⟹AM=ABsin⁡∠ABMsin⁡∠AMB=dsin⁡α2sin⁡(α1+α2).\frac {A M}{\sin \angle A B M} = \frac {A B}{\sin \angle A M B} \Longrightarrow A M = \frac {A B \sin \angle A B M}{\sin \angle A M B} = \frac {d \sin \alpha_ {2}}{\sin (\alpha_ {1} + \alpha_ {2})}.

第二步: 计算 ANAN , 在 △ABN\triangle ABN 中, AB=dAB = d , ∠BAN=β1\angle BAN = \beta_1 , ∠ABN=180∘−β2\angle ABN = 180^\circ - \beta_2 , 由正弦定理得

ANsin⁡∠ABN=ABsin⁡∠ANB⟹AN=ABsin⁡∠ABNsin⁡∠ANB=dsin⁡β2sin⁡(β1+β2).\frac {A N}{\sin \angle A B N} = \frac {A B}{\sin \angle A N B} \Longrightarrow A N = \frac {A B \sin \angle A B N}{\sin \angle A N B} = \frac {d \sin \beta_ {2}}{\sin (\beta_ {1} + \beta_ {2})}.

第三步: 计算 MNMN , 在 △AMN\triangle AMN 中, ∠MAN=α1−β1\angle MAN = \alpha_{1} - \beta_{1} , 由余弦定理得

MN=AM2+AN2−2AM⋅ANcos⁡(α1−β1).M N = \sqrt {A M ^ {2} + A N ^ {2} - 2 A M \cdot A N \cos (\alpha_ {1} - \beta_ {1})}.

如果测量高度与测量距离结合, 我们只需找到对应的模型, 然后分别求出即可, 比如下面例题, 先是 “河两岸” 模型求出 C, B 距离, 再求出高度 CD.

✍️ 例 2.37

（2015 湖北文 15）如图 2-23 所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30∘30^{\circ} 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75∘75^{\circ} 的方向上，仰角为 30∘30^{\circ} ，则此山的高度为 ____ m.


图2-23

🔑 查看解析与步骤

依题意有 AB=600m,∠CAB=30∘,∠CBA=180∘−75∘=105∘,∠DBC=30∘,DC⊥CB,AB = 600\mathrm{m}, \angle CAB = 30^{\circ}, \angle CBA = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}, \angle DBC = 30^{\circ}, DC \perp CB, 故 ∠ACB=45∘\angle ACB = 45^{\circ} . 在 △ABC\triangle ABC 中, 由正弦定理得

ABsin⁡∠ACB=CBsin⁡∠CAB⟹CB=ABsin⁡∠CABsin⁡∠ACB=600sin⁡30∘sin⁡45∘=3002.\frac {A B}{\sin \angle A C B} = \frac {C B}{\sin \angle C A B} \Longrightarrow C B = \frac {A B \sin \angle C A B}{\sin \angle A C B} = \frac {6 0 0 \sin 3 0 ^ {\circ}}{\sin 4 5 ^ {\circ}} = 3 0 0 \sqrt {2}.

所以在 Rt△BCD 中, CD=CBtan⁡30∘=1006mCD = CB \tan 30^{\circ} = 100\sqrt{6}m , 故此山的高度 CD 为 1006m100\sqrt{6}m .

🎯 变式 2.37.1

如图 2-24 所示, 测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选取与塔底 B 在同一水平内的两个测量基点 C 与 D. 现测得 ∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s\angle BCD = \alpha, \angle BDC = \beta, CD = s , 在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ\theta , 求塔高 AB.


图2-24

🎯 变式 2.37.2

(2014 上海 11) 某货船在 A 处看灯塔 M 在北偏东 30∘30^{\circ} 方向, 它以 18 海里每小时的速度向正北方向航行, 经过 40 分钟到达 B 处, 看到灯塔 M 在北偏东 75∘75^{\circ} 方向, 此时货船到灯塔 M 的距离为 ____ 海里.