1.3.3 对称性

观察三角函数的图像 (图 1-1～图 1-3), 可以得到如下关于对称性的结论. 后面稍微有些难度的题, 几乎都有它的身影.

💡 知识点 1.7

（1）函数 $y = \sin x$ 的对称中心为 $(k\pi, 0)$ , $k \in Z$ ，对称轴为 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , $k \in Z$ . (2) 函数 $y = \cos x$ 的对称中心为 $\left(\frac{\pi}{2} + k\pi, 0\right)$ , $k \in Z$ , 对称轴为 $x = k\pi, k \in Z$ . (3) 函数 $y = \tan x$ 的对称中心为 $\left(\frac{k\pi}{2}, 0\right)$ , $k \in Z$ .

✍️ 例 1.39

（2025 新高考 I4）已知点 $(a,0)(a>0)$ 是函数 $y=2\tan\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图像的一个对称中心，则 a 的最小值为（）. A. $\frac{\pi}{6}$ B. $\frac{\pi}{3}$ C. $\frac{\pi}{2}$ D. $\frac{4\pi}{3}$

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因为点 $(a,0)(a > 0)$ 是函数 $y = 2\tan \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$ 的图像的一个对称中心，且 $y = \tan x$ 的对称中心为 $\left(\frac{k\pi}{2},0\right),k\in \mathbb{Z}$ ，所以 $a - \frac{\pi}{3} = \frac{k\pi}{2},k\in \mathbb{Z},$ 即 $a = \frac{k\pi}{2} +\frac{\pi}{3},k\in \mathbb{Z}.$ 又 $a > 0,$ 所以当 $k = 0$ 时， $a$ 取得最小值 $\frac{\pi}{3}$ ，故选B.

🎯 变式 1.39.1

如果函数 $y = 3 \cos(2x + \varphi)$ 的图像关于点 $\left(\frac{4\pi}{3}, 0\right)$ 中心对称, 那么 $|\varphi|$ 的最小值为 ( ). A. $\frac{\pi}{6}$ B. $\frac{\pi}{4}$ C. $\frac{\pi}{3}$ D. $\frac{\pi}{2}$

✍️ 例 1.40

(2022 全国乙理 15) 记函数 $f(x)=\cos(\omega x+\varphi)(\omega>0,0<\varphi<\pi)$ 的最小正周期为 T，若 $f(T)=\frac{\sqrt{3}}{2}, x=\frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点，则 $\omega$ 的最小值为 ____.

🔑 查看解析与步骤

因为 $f(x) = \cos (\omega x + \varphi)(\omega > 0, 0 < \varphi < \pi)$ 的最小正周期为 $T = \frac{2\pi}{\omega}$ , 所以 $f(T) = \cos \left(\omega \cdot \frac{2\pi}{\omega} + \varphi\right) = \cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . 因为 $0 < \varphi < \pi$ , 所以 $\varphi = \frac{\pi}{6}$ , 可得 $f(x) = \cos \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right)$ . 又由 $x = \frac{\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点, 可得 $\frac{\pi}{9}\omega + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ , 解得 $\omega = 3 + 9k, k \in \mathbb{Z}$ . 又因为 $\omega > 0$ , 所以 $k = 0$ 时, 可知 $\omega$ 最小值为 3, 故填 3.

🎯 变式 1.40.1

（2022 新高考 I 6）记函数 $f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)+b(\omega>0)$ 的最小正周期为 T，若 $\frac{2\pi}{3}<T<\pi,$ 且 $y=f(x)$ 的图像关于点 $\left(\frac{3\pi}{2},2\right)$ 中心对称，则 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=(\quad)$ . A. 1 B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{5}{2}$ D. 3