4.2.4 圆系

含参直线系指的是经过两条直线的交点的直线, 那么含参圆系就是经过两个圆交点的圆.

💡 知识点 4.13

过圆 $C_{1}: x^{2} + y^{2} + D_{1}x + E_{1}y + F_{1} = 0$ 与圆 $C_{2}: x^{2} + y^{2} + D_{2}x + E_{2}y + F_{2} = 0$ 交点的圆系方程为 $x^{2} + y^{2} + D_{1}x + E_{1}y + F_{1} + \lambda(x^{2} + y^{2} + D_{2}x + E_{2}y + F_{2}) = 0 (\lambda \neq -1)$ .

📌 标注说明

该圆系不能表示 $C_{2}$ ，特别地，当 $\lambda = -1$ 时，方程变为 $(D_{1} - D_{2})x + (E_{1} - E_{2})y + F_{1} - F_{2} = 0$ .

(1) 两圆 $C_1$ 与 $C_2$ 相交时, 此方程表示公共弦方程;

(2) 两圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 相切时, 此方程表示公切线方程.

✍️ 例 4.31

已知圆心在直线 $\ell: x - y - 4 = 0$ 上，并且经过圆 $C_{1}: x^{2} + y^{2} + 6x - 4 = 0$ 与圆 $C_{2}: x^{2} + y^{2} + 6y - 28 = 0$ 的交点的圆的方程为 ____.

🔑 查看解析与步骤

经检验, $C_2(0, -3)$ 不在直线 $\ell$ 上, 故所求圆的方程不可能为 $C_2$ . 设所求圆的方程为 $x^2 + y^2 + 6x - 4 + \lambda (x^2 + y^2 + 6y - 28) = 0$ , 整理得

$$x ^ {2} + y ^ {2} + \frac {6}{1 + \lambda} x + \frac {6 \lambda}{1 + \lambda} y - \frac {4 + 2 8 \lambda}{1 + \lambda} = 0.$$

故圆心坐标为 $\left(-\frac{3}{1 + \lambda}, -\frac{3\lambda}{1 + \lambda}\right)$ . 又因为圆心在 $\ell$ 上, 所以 $-\frac{3}{1 + \lambda} + \frac{3\lambda}{1 + \lambda} - 4 = 0$ , 解得 $\lambda = -7$ , 因此圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - x + 7y + 32 = 0$ .

🎯 变式 4.31.1

圆心在直线 $x+y=0$ 上, 且过两圆 $x^{2}+y^{2}-2x+10y-24=0$ 与 $x^{2}+y^{2}+2x+2y-8=0$ 交点的圆的方程 ____.

💡 知识点 4.14

过直线 $Ax + By + C = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ 交点的圆系方程为 $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F + \lambda (Ax + By + C) = 0$ .

✍️ 例 4.32

经过直线 $\ell:2x+y+4=0$ 与圆 $C:x^{2}+y^{2}+2x-4y+1=0$ 的交点, 并且经过原点的圆的方程为 ____.

🔑 查看解析与步骤

设所求圆的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + 1 + \lambda (2x + y + 4) = 0$ ，由于这个圆经过原点，代入所求圆的方程得 $1 + 4\lambda = 0$ ，即 $\lambda = -\frac{1}{4}$ . 将 $\lambda = -\frac{1}{4}$ 代入所求圆的方程得 $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{17}{4} y = 0$ 故填 $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{17}{4} y = 0.$