【知识点 3.17】 外心, 顾名思义, 即外接圆的圆心, 也就是三角形三条边中垂线的交点.

因为线段中垂线上的点到两个端点的距离相等, 而外心是三角形三边中垂线的交点, 所以判断一个点是否为外心常用的方法就是看它是否到三角形三个顶点的距离相等.

✍️ 例 3.84

已知 O 为 $\triangle ABC$ 所在平面上一点, 若 $\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) \cdot \overrightarrow{AB} = \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}\right) \cdot \overrightarrow{AC} = \left(\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB}\right) \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ , 则点 O 是 $\triangle ABC$ 的 ( ).

A. 外心 B. 重心 C. 垂心 D. 内心

🔑 查看解析与步骤

设 $AB, AC, BC$ 的中点分别为 $D, E, F$ , 则 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OE}, \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OF}$ , 于是 $\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OE} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OF} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ , 可得 $OD \perp AB, OE \perp AC, OF \perp BC$ , 因此 $O$ 是三条中垂线的交点, 即 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心. 故选 A.

🎯 变式 3.84.1

已知 M 是 $\triangle ABC$ 所在平面内一点, N 是 BC 边的中点, 如果 $2\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AC}|^{2} - |\overrightarrow{AB}|^{2}$ , 则直线 MN 一定通过 $\triangle ABC$ 的 ( ).

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

判断某个点是否是三角形外心, 只需要判断这个点是否到三个顶点的距离相等, 进而联想到边的中垂线, 而验证垂直最常用的方法是构造数量积, 看数量积是否为 0.

✍️ 例 3.85

已知 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 $\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}| \cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}| \cos C} \right)$ , $\lambda \in [0, +\infty)$ , 则点 P 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的 ( ).

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

🔑 查看解析与步骤

设 $BC$ 的中点为 $D$ , 则 $\frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} = \overrightarrow{OD}$ , 故

$$\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O D} + \lambda \left(\frac {\overrightarrow {A B}}{| \overrightarrow {A B} | \cos B} + \frac {\overrightarrow {A C}}{| \overrightarrow {A C} | \cos C}\right) \Rightarrow \overrightarrow {D P} = \lambda \left(\frac {\overrightarrow {A B}}{| \overrightarrow {A B} | \cos B} + \frac {\overrightarrow {A C}}{| \overrightarrow {A C} | \cos C}\right).$$

两边同时点乘 $\overrightarrow{BC}$ , 得

$$\overrightarrow {D P} \cdot \overrightarrow {B C} = \lambda \left(\frac {\overrightarrow {A B} \cdot \overrightarrow {B C}}{| \overrightarrow {A B} | \cos B} + \frac {\overrightarrow {A C} \cdot \overrightarrow {B C}}{| \overrightarrow {A C} | \cos C}\right) = \lambda \left(\frac {| \overrightarrow {A B} | \cdot | \overrightarrow {B C} | \cos (\pi - B)}{| \overrightarrow {A B} | \cos B} + \frac {| \overrightarrow {A C} | \cdot | \overrightarrow {B C} | \cos C}{| \overrightarrow {A C} | \cos C}\right),$$

即 $\overrightarrow{DP} \cdot \overrightarrow{BC} = \lambda (-|\overrightarrow{BC}| + |\overrightarrow{BC}|) = 0$ , 所以 $\overrightarrow{DP} \perp \overrightarrow{BC}$ , 即点 $P$ 在 $BC$ 的垂直平分线上, 从而点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的外心, 故选 A.

🎯 变式 3.85.1

已知 O 是 $\triangle ABC$ 的外心, $\overrightarrow{AO} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}$ , 且 AB = 6, AC = 10, $2x + 10y = 5$ , 则 $\cos\angle BAC =$ ____.