4. 对称性

点关于点中心对称是最简单的形式: 若点 $M(x_{0}, y_{0})$ 及点 $N(x, y)$ 关于点 $P(a, b)$ 对称, 则由中点坐标公式得 $\left\{\begin{aligned}x &= 2a - x_{0}\\ y &= 2b - y_{0}\end{aligned}\right.$ . 这种形式是其他对称问题的基础, 务必重视!

✍️ 例 4.15

（2022 河南高三模拟）直线 $\ell:4x+3y-2=0$ 关于点 $A(1,1)$ 对称的直线方程为 ( ).
A. $4x+3y-4=0$ B. $4x+3y-12=0$ C. $4x-3y-4=0$ D. $4x-3y-12=0$

🔑 查看解析与步骤

在所求直线上任取一点 $P(x,y)$ ，则点 $P(x,y)$ 关于点 $A(1,1)$ 的对称点为 $P'(x',y')$ 一定在 $\ell$ 上, 由 $\left\{\begin{aligned}\frac{x+x^{\prime}}{2}&=1\\ \frac{y+y^{\prime}}{2}&=1\end{aligned}\right.$ , 得 $\left\{\begin{aligned}x^{\prime}&=2-x\\ y^{\prime}&=2-y\end{aligned}\right.$ , 即 $P^{\prime}(2-x,2-y)$ . 代入直线 $\ell$ 得 $4(2-x)+3(2-y)-2=0$ , 整理得 $4x + 3y - 12 = 0$ . 故选 B.

通过例 4.15 可知, 直线关于点的对称问题, 其实就是点关于点的对称问题.

✍️ 例 4.16

(2009 海南文 5) 已知圆 $C_{1}:(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ ，圆 $C_{2}$ 与圆 $C_{1}$ 关于直线 x-y-1=0 对称，则圆 $C_{2}$ 的方程为（）. A. $(x+2)^{2}+(y-2)^{2}=1$ B. $(x-2)^{2}+(y+2)^{2}=1$ C. $(x+2)^{2}+(y+2)^{2}=1$ D. $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=1$

🧠 思路分析

由题意可知, 圆心 $C_1$ 与圆心 $C_2$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称, 这里包含两个条件: 一是线段 $C_1 C_2$ 的中点在直线 $x - y - 1 = 0$ 上; 二是直线 $C_1 C_2$ 与直线 $x - y - 1 = 0$ 垂直, 故它们的斜率相乘等于 $-1$ . 设 $C_2(a, b)$ , 列出方程组就能解出 $a, b$ , 进而得到圆 $C_2$ 的方程.

🔑 查看解析与步骤

由题意可知，圆 $C_1$ 的圆心为 $C_1(-1,1)$ ，半径为 1。设圆 $C_2$ 的圆心为 $C_2(a,b)$ ，因为圆 $C_2$ 与圆 $C_1$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称，所以 $C_1(-1,1)$ 与 $C_2(a,b)$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称，故 $\left\{ \begin{array}{l} \frac{b - 1}{a + 1} \cdot 1 = -1 \\ \frac{a - 1}{2} - \frac{b + 1}{2} - 1 = 0 \end{array} \right.$ ，解得 $\left\{ \begin{array}{l} a = 2 \\ b = -2 \end{array} \right.$ ，即 $C_2(2,-2)$ ，所以圆 $C_2$ 的方程为 $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 1$ 故选 B.

根据例 4.16, 我们总结出求点关于直线对称的方法:

🛠️ 方法总结 4.2

点关于直线对称情形如下所示: 设点 $P(x_0, y_0)$ 关于直线 $Ax + By + C = 0 (B \neq 0)$ 对称点为 $P'(x', y')$ , 则 $\left\{ \begin{array}{l} \frac{y' - y_0}{x' - x_0} \cdot \left(-\frac{A}{B}\right) = -1 \\ A \frac{x' + x_0}{2} + B \frac{y' + y_0}{2} + C = 0 \end{array} \right.$ , 求出点 $P'(x', y')$ .

🎯 变式 4.16.1

已知点 A(3,5) 及直线 $\ell: x - 2y + 2 = 0$ , B 为 y 轴上的动点, C 为 $\ell$ 上的动点, 则 $\triangle ABC$ 的周长的最小值为 ____.