Skip to content
MinerU + Astro

1.4.1 三角函数图像的平移和伸缩

接下来, 我们首先将上述的总结应用到具体的三角函数. 还是以 y=sin⁡xy = \sin x 为例, 介绍如何将它变换到 y=Asin⁡(ωx+φ)(A>0,ω>0)y = A\sin (\omega x + \varphi)(A > 0, \omega > 0) 的图像. 设 φ>0\varphi > 0 , 我们给出如下两种变换途径:

📌 标注说明

因为 y=sin⁡(ωx+φ)=sin⁡[ω(x+φω)]y = \sin(\omega x + \varphi) = \sin\left[\omega\left(x + \frac{\varphi}{\omega}\right)\right] 且 φ>0\varphi > 0 ，所以由 y=sin⁡ωxy = \sin \omega x 得到 y=sin⁡(ωx+φ)y = \sin(\omega x + \varphi) ，需要向左平移 φω\frac{\varphi}{\omega} 个单位长度，而不是 φ\varphi 个单位长度.

另外, 若 φ<0\varphi < 0 , 只需将上述变换中的“向左平移 φ\varphi 个单位”换成“向右平移 ∣φ∣|\varphi| 个单位”“向左平移 φω\frac{\varphi}{\omega} 个单位”换成“向右平移 ∣φ∣ω\frac{|\varphi|}{\omega} 个单位”, 其余保持不变.

✍️ 例 1.46

(2022 浙江 6) 为了得到函数 y=2sin⁡3xy = 2 \sin 3x 的图像, 只要把函数 y=2sin⁡(3x+π5)y = 2 \sin \left(3x + \frac{\pi}{5}\right) 图像上所有的点 ( ). A. 向左平移 π5\frac{\pi}{5} 个单位长度 B. 向右平移 π5\frac{\pi}{5} 个单位长度 C. 向左平移 π15\frac{\pi}{15} 个单位长度 D. 向右平移 π15\frac{\pi}{15} 个单位长度

🔑 查看解析与步骤

因为 y=2sin⁡(3x+π5)=2sin⁡[3(x+π15)]y = 2\sin \left(3x + \frac{\pi}{5}\right) = 2\sin \left[3\left(x + \frac{\pi}{15}\right)\right] ，所以按照“左加右减”原则可知，只需将它向右平移 π15\frac{\pi}{15} 个单位就能得到 y=2sin⁡3xy = 2\sin 3x 图像，故选D.

如果平移前后的函数名没有发生改变, 直接进行变换即可, 但如果三角函数平移前与平移后三角名称发生了变化, 我们首先要把三角名称进行统一然后再进行变换.

✍️ 例 1.47

(2013 全国 II 文 16) 函数 y=cos⁡(2x+φ)(−π⩽φ⩽π)y = \cos(2x + \varphi)(-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi) 的图像向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位后, 与函数 y=sin⁡(2x+π3)y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) 的图像重合, 则 φ=\varphi = ____ .

🔑 查看解析与步骤

由 y=cos⁡(2x+φ)=sin⁡(2x+φ+π2)y = \cos (2x + \varphi) = \sin \left(2x + \varphi +\frac{\pi}{2}\right) ，图像向右平移 π2\frac{\pi}{2} 得

y=sin⁡[2(x−π2)+φ+π2]=sin⁡(2x+φ−π2)y = \sin \left[ 2 \left(x - \frac {\pi}{2}\right) + \varphi + \frac {\pi}{2} \right] = \sin \left(2 x + \varphi - \frac {\pi}{2}\right)

因为平移后的图像与函数 y=sin⁡(2x+π3)y = \sin \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) 的图像重合, 所以

2x+φ−π2=2x+π3+2kπ(k∈Z),2 x + \varphi - \frac {\pi}{2} = 2 x + \frac {\pi}{3} + 2 k \pi (k \in \mathbb {Z}),

解得 φ=5π6+2kπ(k∈Z)\varphi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi (k \in \mathbb{Z}) . 因为 −π⩽φ⩽π-\pi \leqslant \varphi \leqslant \pi , 所以 k=0,φ=5π6k = 0, \varphi = \frac{5\pi}{6} , 故填 5π6\frac{5\pi}{6} .

三角函数的平移变换, 很多时候都与伸缩变换一起考查. 变换的方式为 “先伸缩后平移” 或 “先平移后伸缩”, 下面例题为 “先伸缩后平移”.

✍️ 例 1.48

(2017 全国 I 理 9) 已知曲线 C1:y=cos⁡x,C2:y=sin⁡(2x+2π3)C_{1}: y = \cos x, C_{2}: y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) ，则下面结论正确的是（）. A. 把 C1C_{1} 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向右平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，得到 C2C_{2} B. 把 C1C_{1} 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再把得到的曲线向左平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位，得到 C2C_{2} C. 把 C1C_{1} 上各点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍，再把得到的曲线向右平移 π6\frac{\pi}{6} 个单位，得到 C2C_{2} D. 把 C1C_{1} 上各点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍，再把得到的曲线向左平移 π12\frac{\pi}{12} 个单位，得到 C2C_{2}

🔑 查看解析与步骤

C2:y=sin⁡(2x+2π3)=cos⁡[π2−(2x+2π3)]=cos⁡[−(2x+π6)]=cos⁡(2x+π6).C_2:y = \sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos \left[\frac{\pi}{2} -\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)\right] = \cos \left[-\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)\right] = \cos \left(2x + \frac{\pi}{6}\right). 结合选项，先伸缩再平移，即由 C1C_1 图像横坐标缩短为原来的 12\frac{1}{2} ，得到 y=cos⁡2xy = \cos 2x ，再将它向左平移 π12\frac{\pi}{12} 得到曲线 C2C_2 ，故选D.

对于图像变换问题, 需明确函数图像变换的先后顺序, 弄清楚谁是变换前的函数图像, 谁是变换后的函数图像, 已知变换后的函数图像, 求变换前的函数图像, 常对变换后的图像做相反的变换即可, 比如下例, 做相反变换就是 “先平移后伸缩”.

✍️ 例 1.49

(2021 全国 I 理 7) 把函数 y=f(x)y = f(x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 12\frac{1}{2} 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度, 得到函数 y=sin⁡(x−π4)y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) 的图像, 则 f(x)=()f(x) = (\quad) . A. sin⁡(x2−7π12)\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{7\pi}{12}\right) B. sin⁡(x2+π12)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right) C. sin⁡(2x−7π12)\sin\left(2x-\frac{7\pi}{12}\right) D. sin⁡(2x+π12)\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)

🔑 查看解析与步骤

将函数 y=sin⁡(x−π4)y = \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) 的图像向左平移 π3\frac{\pi}{3} ，得 y=sin⁡(x+π3−π4)=sin⁡(x+π12)y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x + \frac{\pi}{12}\right) ; 再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 得 f(x)=sin⁡(12x+π12)f(x) = \sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{12}\right) ，故选 B.

🎯 变式 1.49.1

(2019 天津 7) 已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)(A>0,ω>0,∣φ∣<π)f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)(A>0,\omega>0,|\varphi|<\pi) 是奇函数，将 y=f(x)y=f(x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，所得图像对应的函数为 g(x)g(x) ，若 g(x)g(x) 的最小正周期为 2π2\pi ，且 g(π4)=2g\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2} ，则 f(3π8)=()f\left(\frac{3\pi}{8}\right)=(\quad) . A. -2 B. −2-\sqrt{2} C. 2\sqrt{2} D. 2

🎯 变式 1.49.2

(2022 全国甲文 5)已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+π3)(ω>0)f(x)=\sin\left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0) 的图像向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位后得到曲线 C, 若曲线 C 关于 y 轴对称, 则 ω\omega 的最小值是 ( ). A. 16\frac{1}{6} B. 14\frac{1}{4} C. 13\frac{1}{3} D. 12\frac{1}{2}