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1.1.1 平方关系与商数关系

在三角函数的公式中, 平方关系和商数关系是最基础的, 也是最重要的, 应无条件记住它们.

💡 知识点 1.1

(1) 平方关系: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 ; (2) 商数关系: tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} .

利用平方关系可以实现正弦和余弦的互化, 利用商数关系可以实现弦和切的互化, 也就是说 sin⁡α\sin \alpha , cos⁡α\cos \alpha , tan⁡α\tan \alpha 只要知道一个, 一定能求出另外两个, 我们称为“知一求二”.

✍️ 例 1.1

(2023 全国乙文 14) 若 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , tan⁡θ=12\tan \theta = \frac{1}{2} , 则 sin⁡θ−cos⁡θ=\sin \theta - \cos \theta = ____.

🔑 查看解析与步骤

因为 θ∈(0,π2)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , 所以 sin⁡θ>0\sin \theta > 0 , cos⁡θ>0\cos \theta > 0 , 又 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=12\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{2} , sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 , 联立两个方程, 解得 sin⁡θ=15\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} , cos⁡θ=25\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}} , 因此 sin⁡θ−cos⁡θ=−55\sin \theta - \cos \theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} , 故填 −55-\frac{\sqrt{5}}{5} .

我们再来看看“知一求二”的升级版本, 由平方关系很容易得到

(sin⁡α±cos⁡α)2=sin⁡2α+cos⁡2α±2sin⁡αcos⁡α=1±2sin⁡αcos⁡α.(\sin \alpha \pm \cos \alpha) ^ {2} = \sin^ {2} \alpha + \cos^ {2} \alpha \pm 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 \pm 2 \sin \alpha \cos \alpha .

故 sin⁡α±cos⁡α,sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \pm \cos \alpha, \sin \alpha \cos \alpha 也可以做到“知一求二”.

✍️ 例 1.2

若 θ∈(π4,π2),sin⁡θ+cos⁡θ=174\theta \in \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right),\sin \theta +\cos \theta = \frac{\sqrt{17}}{4} ，则 cos⁡θ−sin⁡θ\cos \theta -\sin \theta 的值为（ ）.

A. −154-\frac{\sqrt{15}}{4} B. −134-\frac{\sqrt{13}}{4} C. −14-\frac{1}{4} D. −34-\frac{\sqrt{3}}{4}

🔑 查看解析与步骤

因为 sin⁡θ+cos⁡θ=174\sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{17}}{4} , 两边平方得 1+2sin⁡θcos⁡θ=17161 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{17}{16} , 即 2sin⁡θcos⁡θ=1162\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{16} , 又因为 θ∈(π4,π2)\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) , 所以 sin⁡θ>cos⁡θ\sin \theta > \cos \theta , 即 cos⁡θ−sin⁡θ<0\cos \theta - \sin \theta < 0 , 从而

cos⁡θ−sin⁡θ=−(cos⁡θ−sin⁡θ)2=−1−2sin⁡θcos⁡θ=−154.\cos \theta - \sin \theta = - \sqrt {(\cos \theta - \sin \theta) ^ {2}} = - \sqrt {1 - 2 \sin \theta \cos \theta} = - \frac {\sqrt {1 5}}{4}.

故选A.

🎯 变式 1.2.1

(2023 全国模考) 已知 sin⁡α,cos⁡α\sin\alpha,\cos\alpha 是关于 x 的方程 x2−ax+a=0x^{2}-ax+a=0 的两根, 则 sin⁡4α+cos⁡4α+sin⁡2αcos⁡2α2−2sin⁡αcos⁡α=\frac{\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha+\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{2-2\sin\alpha\cos\alpha}= ____.

例 1.2 的模式固定, 是非常明显的 “知一求二”, 但是我们见到更多的是形如 asin⁡α±bcos⁡α=ca \sin \alpha \pm b \cos \alpha = c , 求 sin⁡α,cos⁡α\sin \alpha, \cos \alpha 或 tan⁡α\tan \alpha 的情况. 我们最容易想到的方法是联立 {asin⁡α+bcos⁡α=csin⁡2α+cos⁡2α=1\left\{\begin{aligned}a \sin \alpha + b \cos \alpha &= c \\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha &= 1\end{aligned}\right. ，然后算出 sin⁡α,cos⁡α\sin \alpha, \cos \alpha 或 tan⁡α\tan \alpha .

✍️ 例 1.3

（2013 浙江理 6 节选）已知 α∈R,sin⁡α+2cos⁡α=102\alpha \in R, \sin \alpha + 2 \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2} ，则 tan⁡α=\tan \alpha = ____ .

🔑 查看解析与步骤

将 sin⁡α+2cos⁡α=102\sin \alpha + 2\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2} 与平方关系联立, 得

{sin⁡α+2cos⁡α=102sin⁡2α+cos⁡2α=1\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha +2\cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{2}\\ \sin^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 \end{array} \right. ，解得 {sin⁡α=−1010cos⁡α=31010\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}\\ \cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \end{array} \right. 或 {sin⁡α=31010cos⁡α=1010,\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}\\ \cos \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10} \end{array} \right.,

所以 tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=−13\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{1}{3} 或 tan⁡α=sin⁡αcos⁡α=3,\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 3, 故填 −13-\frac{1}{3} 或3.

📌 标注说明

我们还可以构造齐次式, 从而齐次化切, 具体过程见例1.22.