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3.5 数量积 (二)

向量的数量积不仅是重点, 也是难点, 一直以来备受高考命题专家的青睐. 究其原因, 就是这类题的切入点众多. 无论有多少切入点, 建系仍然是首选.

✍️ 例 3.47

(2023 合肥模考) 已知 A, B, C 是单位圆上的三个动点, 则 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} 的最小值是 ( ) . A. 0 B. −12-\frac{1}{2} C. -1 D. -2

🔑 查看解析与步骤

以圆心 OO 为坐标原点，建立直角坐标系．设 A(1,0)A(1,0) ， B(cos⁡α,sin⁡α)B(\cos \alpha ,\sin \alpha) ， C(cos⁡β,sin⁡β)C(\cos \beta ,\sin \beta) α,β∈[0,2π)\alpha ,\beta \in [0,2\pi) ，可得 AB→=(cos⁡α−1,sin⁡α),AC→=(cos⁡β−1,sin⁡β)\overrightarrow{AB} = (\cos \alpha -1,\sin \alpha),\overrightarrow{AC} = (\cos \beta -1,\sin \beta) ，则

AB→⋅AC→=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β−cos⁡α−cos⁡β+1.\overrightarrow {A B} \cdot \overrightarrow {A C} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha - \cos \beta + 1.

由于 α,β∈[0,2π)\alpha, \beta \in [0, 2\pi) 且相互独立. 因此, 可以选择其中一个变量作为“主元”, 不妨把 β\beta 看成主元, 由辅助角公式可得

AB→⋅AC→=(cos⁡α−1)cos⁡β+sin⁡αsin⁡β−cos⁡α+1=(cos⁡α−1)2+sin⁡2αsin⁡(β−φ)−cos⁡α+1⩾−(cos⁡α−1)2+sin⁡2α−cos⁡α+1=−2−2cos⁡α−cos⁡α+1.\begin{array}{r l} \overrightarrow {A B} \cdot \overrightarrow {A C} & = (\cos \alpha - 1) \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha + 1 \\ & = \sqrt {(\cos \alpha - 1) ^ {2} + \sin^ {2} \alpha} \sin (\beta - \varphi) - \cos \alpha + 1 \\ & \geqslant - \sqrt {(\cos \alpha - 1) ^ {2} + \sin^ {2} \alpha} - \cos \alpha + 1 \\ & = - \sqrt {2 - 2 \cos \alpha} - \cos \alpha + 1. \end{array}

令 t=2−2cos⁡αt = \sqrt{2 - 2\cos\alpha} , 则 cos⁡α=1−12t2\cos \alpha = 1 - \frac{1}{2} t^2 , 由 cos⁡α∈[−1,1]\cos \alpha \in [-1, 1] , 可知 t∈[0,2]t \in [0, 2] . 于是

AB→⋅AC→⩾12t2−t=12(t−1)2−12⩾−12,\overrightarrow {A B} \cdot \overrightarrow {A C} \geqslant \frac {1}{2} t ^ {2} - t = \frac {1}{2} (t - 1) ^ {2} - \frac {1}{2} \geqslant - \frac {1}{2},

当且仅当 t=1t = 1 时等号成立, 所以 AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} 的最小值是 −12-\frac{1}{2} , 故选 B.

例3.47中的解题思路和方法几乎与例3.34及其变式完全相同。只要熟练掌握了例3.34及其变式，处理例3.47应该没有任何障碍。很明显，利用建系解题的作用是不可小觑的。

在本节中, 我们将介绍几种常见的求解数量积的方法. 我们以求数量积 OA→⋅OB→\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} 为例, 介绍这几种方法的适用范围.

(1) 若 OA→,OB→\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} 的模和夹角都知道, 直接利用公式即可, 这是求数量积最简单的一种情况, 我们在3.1.3小节已经介绍过.

(2) 若 OA→,OB→\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB} 的模和夹角都不知道, 可以考虑用一组模长和夹角都知道的基底表示.

(3) 若知道 ABAB 和它的中线的长度, 可以考虑极化恒等式.

(4) 若知道 ∣OA→∣|\overrightarrow{OA}| , ∣OB→∣|\overrightarrow{OB}| 和 ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}| , 可以考虑向量余弦公式.