【知识点 3.18】三角形三条高所在直线的交点为垂心.

找垂心需要先找垂直, 而找垂直我们只需判断数量积是否为 0, 请看下面例题:

✍️ 例 3.86

已知 O 为 $\triangle ABC$ 所在平面上一点, 若 $|\overrightarrow{OA}|^{2} + |\overrightarrow{BC}|^{2} = |\overrightarrow{OB}|^{2} + |\overrightarrow{AC}|^{2} = |\overrightarrow{OC}|^{2} + |\overrightarrow{AB}|^{2}$ , 则点 O 是 $\triangle ABC$ 的 ( ). A. 外心 B. 重心 C. 垂心 D. 内心

🔑 查看解析与步骤

由条件 $|\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2$ ，可得

$$| \overrightarrow {O A} | ^ {2} + | \overrightarrow {O C} - \overrightarrow {O B} | ^ {2} = | \overrightarrow {O B} | ^ {2} + | \overrightarrow {O C} - \overrightarrow {O A} | ^ {2} \Longrightarrow \overrightarrow {O A} \cdot \overrightarrow {O C} - \overrightarrow {O B} \cdot \overrightarrow {O C} = 0,$$

即 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ . 同理可得 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{OB} = 0, \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{OA} = 0$ , 即 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心. 故选 C.

🎯 变式 3.86.1

已知 O 是平面上一定点, 动点 P 满足 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}| \cos B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}| \cos C} \right)$ , $\lambda \in [0, +\infty)$ , 则点 P 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的 ( ).

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心