3. 两条平行线的距离

💡 知识点 4.6

直线 $Ax + By + C_{1} = 0$ 与直线 $Ax + By + C_{2} = 0$ 的距离为 $d = \frac{|C_{1} - C_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ .

✍️ 例 4.14

(2023 江苏月考) 若平面内两条平行线 $\ell_{1}: x + (a - 1)y + 2 = 0, \ell_{2}: ax + 2y + 1 = 0$ 间的距离为 $\frac{3\sqrt{5}}{5}$ ，则实数 $a = (\quad)$ . A. -2 B. -2 或 1 C. -1 D. -1 或 2

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因为 $\ell_1 / / \ell_2$ ，所以 $a(a - 1) - 2 = 0$ ，解得 $a = 2$ 或 $a = -1$

(1) 当 $a = 2$ 时, $\ell_1, \ell_2$ 分别为 $x + y + 2 = 0$ , $x + y + \frac{1}{2} = 0$ , 则 $\ell_1$ 到 $\ell_2$ 的距离为 $d = \frac{\left|2 - \frac{1}{2}\right|}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$ , 不符合题意, 舍去;

(2) 当 $a = -1$ 时, $\ell_1, \ell_2$ 分别为 $x - 2y + 2 = 0$ , $x - 2y - 1 = 0$ , 则 $\ell_1$ 到 $\ell_2$ 的距离为 $d = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$ , 符合题意.

综上所述, a = -1, 故选 C.

🎯 变式 4.14.1

（2023 安徽黄山模拟）若直线 2x - y - 3 = 0 与 $4x - 2y + a = 0$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，则 a 的值为（）. A. 4 B. $\sqrt{5}-6$ C. 4 或 -16 D. 8 或 -16