3. 数量积圆

我们知道 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0$，且 $A,B$ 是定点，则 $P$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆，现在的问题是如果 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\lambda$，那么点 $P$ 的轨迹还是圆吗? 请看下面的例题:

例 4.26

(2020 全国Ⅲ文 6) 在平面内，$A$, $B$ 是两个定点，$C$ 是动点．若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=1$，则点 $C$ 的轨迹为 ( ). A. 圆 $B$．椭圆 $C$．抛物线 $D$．直线

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设线段 $AB$ 的中点为 $O$，长为 $2a(a>0)$，以点 $O$ 为原点，线段 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则 $A(-a,0),B(a,0)$．设点 $C$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $\overrightarrow{AC}=(x+a,y),\overrightarrow{BC}=(x-a,y)$，由 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=1$ 得 $(x+a)(x-a)+y^2=1$，化简可得 $x^2+y^2=1+a^2$，所以点 $C$ 的轨迹为以 $O$ 为圆心，$\sqrt{1+a^2}$ 为半径的圆，故选 $A$.

类比例4.26, 设 $A$, $B$ 为定点，长为 $2a(a>0)$，以 AB 的中点为原点， AB 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系，若 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=\lambda$，则 $C(x,y)$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=\lambda +a^2$．故

(1) 当 $\lambda +a^2>0$ 时，$C$ 的轨迹是圆;

(2) 当 $\lambda +a^2=0$ 时，$C$ 的轨迹是点;

(3) 当 $\lambda +a^2<0,C$ 的轨迹不存在．

变式 4.26.1

在平面直角坐标系中，$A(-12,0)$ , $B(0,6)$，点 $P$ 在圆 $O:x^2+y^2=50$ 上．若 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}⩽20$，则点 $P$ 的横坐标的取值范围是 ____.