3.7.1 四心 · 《新高考数学你真的掌握了吗（第二版）》

让我们从重心开始，从高考的角度来看这是最重要的一个心．

知识点 3.15

如图 3-78 所示，在 $\triangle ABC$ 中，三条中线 AE, CD, BF 的交点 $G$ 叫重心．

框架 1.7-1

已知 $G$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面上一点， $D$ , $E$ , $F$ 分别为 AB, BC, AC 的中点，如图 3-78 所示，则有如下框架图所示的结论：

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下面我们给出第一个式子的证明，其他都可以由这个得出．连接 $EF$ ，因为 $EF$ 为中位线，所以 $EF = \frac{1}{2} AB$ ，即 $\frac{AG}{GE} = \frac{AB}{EF} = 2$ ，亦即 $AG = 2GE$ ．同理 $CG = 2GD, BG = 2GF$ ，即 $\frac{AG}{GE} = \frac{BG}{GF} = \frac{CG}{GD} = \frac{2}{1}$

例 3.79

(2023 浙江模考) 设 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，且 $(56 \sin A) \overrightarrow{GA} + (40 \sin B) \overrightarrow{GB} + (35 \sin C) \overrightarrow{GC} = 0$ ，则 B = ____.

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因为 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，所以 $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 0$ ．根据题中条件可得 $56 \sin A : 40 \sin B : 35 \sin C = 1 : 1 : 1$ ，即 $\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 7 : 8$ ．又由正弦定理可知 $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C = 5 : 7 : 8$ ．设 a = 5k, b = 7k, c = 8k, 由余弦定理可得

\cos B = \frac {a ^ {2} + c ^ {2} - b ^ {2}}{2 a c} = \frac {2 5 k ^ {2} + 6 4 k ^ {2} - 4 9 k ^ {2}}{2 \times 5 k \cdot 8 k} = \frac {1}{2}.

又因为 $B \in (0, \pi)$ ，所以 $B = \frac{\pi}{3}$ ，故填 $B = \frac{\pi}{3}$ .

如果 $G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，则 $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 0$ ，这个是三角形重心最重要的标志! 如果在平面直角坐标系中，设 $A(x_1, y_1)$ , $B(x_2, y_2)$ , $C(x_3, y_3)$ , $G(x, y)$ ，由

\overrightarrow {G A} + \overrightarrow {G B} + \overrightarrow {G C} = \mathbf {0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l l} x = \frac {x _ {1} + x _ {2} + x _ {3}}{3} \\ y = \frac {y _ {1} + y _ {2} + y _ {3}}{3} \end{array} \right.,

即重心坐标为 $G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$ ．重心这个点的性质绝不仅仅局限于这个框架图，见下面这个例子．

例 3.80

在 $\triangle ABC$ 内存在一点 $P$ ，使 $\overrightarrow{AP^{2}} + \overrightarrow{BP^{2}} + \overrightarrow{CP^{2}}$ 取得最小值，则该点是 $\triangle ABC$ 的 ( ). A. 重心 $B$ ．内心 $C$ ．垂心 $D$ ．外心

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在平面直角坐标系中，设 $A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2}), C(x_{3},y_{3})$ ，点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$ ，令 $S = \overrightarrow{AP^2} + \overrightarrow{BP^2} + \overrightarrow{CP^2}$ ，则

S = 3 x ^ {2} + 3 y ^ {2} - 2 (x _ {1} + x _ {2} + x _ {3}) x - 2 (y _ {1} + y _ {2} + y _ {3}) y + x _ {1} ^ {2} + x _ {2} ^ {2} + x _ {3} ^ {2} + y _ {1} ^ {2} + y _ {2} ^ {2} + y _ {3} ^ {2}

配方后可得

S = 3 \left(x - \frac {x _ {1} + x _ {2} + x _ {3}}{3}\right) ^ {2} + 3 \left(y - \frac {y _ {1} + y _ {2} + y _ {3}}{3}\right) ^ {2} +

\frac {1}{3} \left[ (x _ {1} - x _ {2}) ^ {2} + (x _ {2} - x _ {3}) ^ {2} + (x _ {1} - x _ {3}) ^ {2} + (y _ {1} - y _ {2}) ^ {2} + (y _ {2} - y _ {3}) ^ {2} + (y _ {1} - y _ {3}) ^ {2} \right],

可知当 $x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ 且 $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$ 时有最小值，此时点 $P$ 刚好为 $\triangle ABC$ 的重心．故选 $A$ .

在例3.80中我们通过建系，利用坐标得出点 $P$ 到三角形三个顶点距离，而得到的式子结构特征很明显，这个点 $P$ 为三角形的重心时取得最小值．由此我们可以得到三角形的重心到三角形的 3 个顶点的距离的平方和最小．

变式 3.80.1

(2022 全国模考) 过 $\triangle ABC$ 的重心 $O$ 的直线 PQ 交 AC 于点 $P$ ，交 BC 于点 $Q$ , $\overrightarrow{PC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{QC} = n\overrightarrow{BC}$ ，则 $n$ 的值为 ____.

例 3.81

已知 $O$ 是平面上一定点， $A$ , $B$ , $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}| \sin B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}| \sin C} \right)$ , $\lambda \in [0, +\infty)$ ，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的 ( ).

A. 外心 $B$ ．内心 $C$ ．重心 $D$ ．垂心

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由题意可得 $\overrightarrow{AP} = \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\sin B} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\sin C} \right)$ ．再由正弦定理可知 $|\overrightarrow{AB}| \sin B = |\overrightarrow{AC}| \sin C$ ，所以 $\overrightarrow{AP} = \frac{\lambda}{|\overrightarrow{AB}|\sin B} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \right)$ ．设 $BC$ 的中点为 $D$ ，所以 $\overrightarrow{AP} = \frac{2\lambda}{|\overrightarrow{AB}|\sin B}\overrightarrow{AD}$ ，则由平行四边形法则可知，点 $P$ 在 $BC$ 的中线 $AD$ 所在的射线上，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的重心，故选 $C$ .

变式 3.81.1

已知 $O$ 是平面上一定点， $A$ , $B$ , $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} + \lambda \overrightarrow{AP}$ ，则 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的 ( ).

A. 内心 $B$ ．外心 $C$ ．垂心 $D$ ．重心