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3.1.1 线性运算

💡 知识点 3.1

向量加法的三角形法则: 如图 3-1 所示, a+b=AB→+BC→=AC→a + b = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} . 向量加法的平行四边形法则: 如图 3-2 所示, 在平行四边形 ABCDABCD 中, AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} .


图3-1


图3-2

在如图3-2所示的平行四边形ABCD中，连接AC,BD,交点为E，则由平行四边形法则得 AB→+AD→=AC→=2AE→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AE} 这个式子是三角形中线的向量形式，总结如下：

✍️ 例 3.1

设 D, E, F 分别为 △ABC\triangle ABC 三边 BC, CA, AB 的中点，则 EB→+FC→=()\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = (\quad) . A. AD→\overrightarrow{AD} B. 12AD→\frac{1}{2}\overrightarrow{AD} C. 12BC→\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} D. BC→\overrightarrow{BC}

🔑 解析 1

如图 3-3 所示, 因为 D, E, F 分别为 BC, CA, AB 的中点, 所以 EB→+FC→=(EC→+CB→)+(FB→+BC→)=EC→+FB→=12AC→+12AB→=12(AC→+AB→)=AD→\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = (\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{FB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AD} , 故选 A.

🔑 解析 2

EB→+FC→=−BE→−CF→=−BA→+BC→2−CA→+CB→2=AB→+AC→2=AD→\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = -\overrightarrow{BE} - \overrightarrow{CF} = -\frac{\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}}{2} - \frac{\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} = \overrightarrow{AD} . 故选 A.

比较解析 1 与解析 2, 发现恰当地运用三角形中线的向量形式可以简化向量的运算.

✍️ 例 3.2

(2014 福建文 10) 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则 OA→+OB→+OC→+OD→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} 等于 ( ). A. OM→\overrightarrow{OM} B. 2OM→2\overrightarrow{OM} C. 3OM→3\overrightarrow{OM} D. 4OM→4\overrightarrow{OM}

🔑 解析

如图3-4所示, OMOM 既是 △OAC\triangle OAC 的中线, 也是 △OBD\triangle OBD 的中线, 根据三角形中线的向量形式得到 OA→+OC→=2OM→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OM} , OB→+OD→=2OM→\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OM} , 所以 OA→+OB→+OC→+OD→=4OM→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OM} , 故选D.


图3-3


图3-4

向量加法的特征是首尾衔接, 例如 AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} . 而向量的减法规则是将两个向量的起点放在一起, 以减向量的终点为起点, 被减向量的终点为终点, 得到的向量称为差向量.

如果你觉得减法的规则很绕, 可以将减法转化为加法, 即取减向量的相反向量, 然后进行向量的加法运算. 例如, AB→−AC→=AB→+(−AC→)=AB→+CA→=CB→\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB} . 这样可以更方便地处理减法运算.

✍️ 例 3.3

已知 P 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内的任意一点, 若 PA→+PB→+PC→=AB→\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB} , 则点 P 与 △ABC\triangle ABC 的位置关系是 ( ).

A. 点 P 在线段 AB 上 B. 点 P 在线段 BC 上 C. 点 P 在线段 AC 上 D. 点 P 在 △ABC\triangle ABC 外部

🔑 解析

由 PA→+PB→+PC→=AB→\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB} 得到 PA→+PB→+PC→=PB→−PA→\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PA} ，即 PC→=−2PA→=2AP→\overrightarrow{PC} = -2\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{AP} ，所以点 P 在线段 AC 上。故选 C.

在进行向量运算时, 要尽量将问题转化到平行四边形或三角形中, 选择从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量, 并选用合适的回路. 通过运用向量的加法和减法运算, 来求解问题. 这种方法可以简化向量运算的过程, 使问题更易于处理和理解.

✍️ 例 3.4

(2023 安徽统考) 已知 △ABC\triangle ABC 的面积为 3, P, Q 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内异于点 A 的两个不同的点, 若 PA→−(1+2λ)PC→=0\overrightarrow{PA} - (1 + 2\lambda)\overrightarrow{PC} = 0 , 且 QA→+λQB→+λQC→=λBC→\overrightarrow{QA} + \lambda\overrightarrow{QB} + \lambda\overrightarrow{QC} = \lambda\overrightarrow{BC} , 其中 λ>0\lambda > 0 , 则 △APQ\triangle APQ 的面积为 ____.

🧠 思路分析

因为 △ABC\triangle ABC 与 △APQ\triangle APQ 含有公共角 AA , 故只需找到 APAP 与 ACAC , AQAQ 与 ABAB 的数量关系即可得出面积.

🔑 解析

首先, 由 λ>0\lambda > 0 , PA→−(1+2λ)PC→=0\overrightarrow{PA} - (1 + 2\lambda)\overrightarrow{PC} = 0 可知 PP 在 ACAC 的延长线上, 设 AC=1AC = 1 , CP=xCP = x , 则由 PA→−(1+2λ)PC→=0\overrightarrow{PA} - (1 + 2\lambda)\overrightarrow{PC} = 0 , 可知 1+x=(1+2λ)x1 + x = (1 + 2\lambda)x , 即 x=12λx = \frac{1}{2\lambda} , 也就是 AP→=1+2λ2λAC→\overrightarrow{AP} = \frac{1 + 2\lambda}{2\lambda}\overrightarrow{AC} .

又因为 QA→+λQB→+λQC→=λBC→\overrightarrow{QA} + \lambda \overrightarrow{QB} + \lambda \overrightarrow{QC} = \lambda \overrightarrow{BC} , 所以 QA→+λQB→+λQC→=λ(QC→−QB→)\overrightarrow{QA} + \lambda \overrightarrow{QB} + \lambda \overrightarrow{QC} = \lambda (\overrightarrow{QC} - \overrightarrow{QB}) , 即 AQ→=2λQB→\overrightarrow{AQ} = 2\lambda \overrightarrow{QB} , 这说明 QQ 在 ABAB 之间. 设 QB=1QB = 1 , 则 AQ=2λAQ = 2\lambda , 所以 AQ→=2λ1+2λAB→\overrightarrow{AQ} = \frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}\overrightarrow{AB} .

因此 ∣AP∣=1+2λ2λ∣AC∣|AP| = \frac{1 + 2\lambda}{2\lambda} |AC| , ∣AQ∣=2λ1+2λ∣AB∣|AQ| = \frac{2\lambda}{1 + 2\lambda} |AB| . 因为 △ABC\triangle ABC 的面积为 3, 所以 S△ABC=12∣AB∣⋅∣AC∣sin⁡A=3S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \sin A = 3 , 则 S△APQ=12⋅1+2λ2λ∣AC∣⋅2λ1+2λ∣AB∣sin⁡A=12∣AC∣⋅∣AB∣sin⁡A=3S_{\triangle APQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2\lambda}{2\lambda} |AC| \cdot \frac{2\lambda}{1 + 2\lambda} |AB| \sin A = \frac{1}{2} |AC| \cdot |AB| \sin A = 3 . 所以 △APQ\triangle APQ 的面积为 3, 故填 3.

🎯 变式 3.4.1

(2023 山东统考) 在 △ABC\triangle ABC 中, 若 ∣AB→+AC→∣=2|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2 , ∣BC→+BA→∣=3|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}| = 3 , 则 △ABC\triangle ABC 面积的最大值为 ( ).

A. 38\frac{3}{8} B. 34\frac{3}{4} C. 1

D. 52\frac{\sqrt{5}}{2}

💡 知识点 3.2

向量共线定理: 向量 a(a≠0)a(a \neq 0) 与向量 b 共线的充要条件是: 存在唯一一个实数 λ\lambda , 使得 b=λab = \lambda a .

📌 标注说明

向量共线定理的应用需要特别注意 a≠0a \neq 0 ，否则，若 a=0a = 0 且 b≠0b \neq 0 ，则不存在 λ∈R\lambda \in \mathbb{R} ，使得 b=λab = \lambda a ；若 a=0a = 0 且 b=0b = 0 ，则使得 b=λab = \lambda a 成立的实数 λ\lambda 不唯一。

✍️ 例 3.5

(2015 全国Ⅱ理 13) 设向量 a, b 不平行, 向量 λa+b\lambda a + b 与 a+2ba + 2b 平行, 则实数 λ=\lambda = ____ .

🔑 解析

由于向量 λa+b\lambda a + b 与 a+2ba + 2b 平行, 所以由向量共线定理可知, 存在唯一的实数 μ\mu , 使得 λa+b=μ(a+2b)\lambda a + b = \mu(a + 2b) , 对照系数可得 {μ=λ2μ=1\left\{\begin{aligned}\mu &= \lambda \\ 2\mu &= 1\end{aligned}\right. , 解得 λ=12\lambda = \frac{1}{2} . 故填 12\frac{1}{2} .

向量只有大小和方向两个要素, 与起点无关. 不同的是, 有向线段有起点、方向与长度三个要素. 如果将向量用有向线段表示, 那么共线定理就可以解决三点共线问题.

✍️ 例 3.6

已知向量 e1,e2e_{1}, e_{2} 是两个不共线的向量, AB→=3e1+2e2,CB→=ke1+e2,CD→=3e1−2ke2\overrightarrow{AB} = 3e_{1} + 2e_{2}, \overrightarrow{CB} = ke_{1} + e_{2}, \overrightarrow{CD} = 3e_{1} - 2ke_{2} , 若 A, B, D 三点共线, 则 k 等于 ( ).

A. −94-\frac{9}{4} B. −49-\frac{4}{9} C. −38-\frac{3}{8} D. −83-\frac{8}{3}

🔑 解析

若 A, B, D 三点共线，则存在一个实数 λ\lambda ，使得 AB→=λBD→\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BD} ，又 AB→=3e1+2e2\overrightarrow{AB} = 3e_{1} + 2e_{2} ，而 BD→=CD→−CB→=(3−k)e1−(2k+1)e2\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = (3 - k)e_{1} - (2k + 1)e_{2} ，则 3e1+2e2=λ[(3−k)e1−(2k+1)e2]3e_{1} + 2e_{2} = \lambda[(3 - k)e_{1} - (2k + 1)e_{2}] ，对照系数可得 {3=λ(3−k)2=−λ(2k+1)\left\{\begin{aligned}&3=\lambda(3-k)\\ &2=-\lambda(2k+1)\end{aligned}\right. ，解得 k=−94k=-\frac{9}{4} . 故选 A.

✍️ 例 3.7

(2022 新高考 I 3) 在 △ABC\triangle ABC 中, 点 D 在边 AB 上, BD = 2DA. 记 CA→=m,CD→=n\overrightarrow{CA} = m, \overrightarrow{CD} = n , 则 CB→=()\overrightarrow{CB} = (\quad) . A. 3m−2n3m - 2n B. −2m+3n-2m + 3n C. 3m+2n3m + 2n D. 2m+3n2m + 3n

🔑 解析

因为 BD→=2DA→\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA} ，所以 B, D, A 三点共线。由向量的减法可得 CD→−CB→=2(CA→−CD→)\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD}) ，整理得 CB→=3CD→−2CA→=3n−2m\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CD}-2\overrightarrow{CA}=3n-2m 。故选 B.

虽然本小节的三点共线我们讲的很基础, 但是三点共线问题的难易度不会止步于此, 我们会在 3.4 节深入研究三点共线问题.

🎯 变式 3.7.1

（2023 重庆统考）已知点 D, G 为 △ABC\triangle ABC 所在平面内的点， AD→=14AB→+34AC→\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC} ， AG→=13(AB→+AC→)\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) ，记 S1,S2S_{1}, S_{2} 分别为 △ABC,△BDG\triangle ABC, \triangle BDG 的面积，那么 S2S1=()\frac{S_{2}}{S_{1}} = (\quad) . A. 14\frac{1}{4} B. 15\frac{1}{5} C. 16\frac{1}{6} D. 17\frac{1}{7}