3.1.1 线性运算 · 《新高考数学你真的掌握了吗（第二版）》

知识点 3.1

向量加法的三角形法则: 如图 3．向量加法的平行四边形法则: 如图 3-2 所示，在平行四边形 $a + b = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ．向量加法的平行四边形法则: 如图 3-2 所示，在平行四边形 $ABCD$ 中， $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ .

在如图 3-2所示的平行四边形ABCD中，连接AC,BD,交点为 $E$ ，则由平行四边形法则得 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AE}$ 这个式子是三角形中线的向量形式，总结如下：

结论总结 3.1

在 $\triangle ABD$ 中， $E$ 是边 BD 的中点，则 $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$ .

例 3.1

设 $D$ , $E$ , $F$ 分别为 $\triangle ABC$ 三边 BC, CA, AB 的中点，则 $\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = (\quad)$ . A. $\overrightarrow{AD}$ B. $\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ C. $\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ D. $\overrightarrow{BC}$

解析 1

如图 3-3 所示，因为 $D$ , $E$ , $F$ 分别为 BC, CA, AB 的中点，所以 $\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = (\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{FB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AD}$ ，故选 $A$ .

解析 2

$\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{FC} = -\overrightarrow{BE} - \overrightarrow{CF} = -\frac{\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}}{2} - \frac{\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2} = \overrightarrow{AD}$ ．故选 $A$ .

比较解析1 与解析2, 发现恰当地运用三角形中线的向量形式可以简化向量的运算．

例 3.2

(2014 福建文 10) 设 $M$ 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， $O$ 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$ 等于 ( ). A. $\overrightarrow{OM}$ B. $2\overrightarrow{OM}$ C. $3\overrightarrow{OM}$ D. $4\overrightarrow{OM}$

解析

如图 3-4所示， $OM$ 既是 $\triangle OAC$ 的中线，也是 $\triangle OBD$ 的中线，根据三角形中线的向量形式得到 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OM}$ , $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OM}$ ，所以 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = 4\overrightarrow{OM}$ ，故选 $D$ .

向量加法的特征是首尾衔接，例如 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ．而向量的减法规则是将两个向量的起点放在一起，以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点，得到的向量称为差向量．

如果你觉得减法的规则很绕，可以将减法转化为加法，即取减向量的相反向量，然后进行向量的加法运算．例如， $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + (-\overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CB}$ ．这样可以更方便地处理减法运算．

例 3.3

已知 $P$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内的任意一点，若 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB}$ ，则点 $P$ 与 $\triangle ABC$ 的位置关系是 ( ).

A. 点 $P$ 在线段 AB 上 B. 点 $P$ 在线段 BC 上 C. 点 $P$ 在线段 AC 上 D. 点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 外部

解析

由 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{AB}$ 得到 $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PB} - \overrightarrow{PA}$ ，即 $\overrightarrow{PC} = -2\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{AP}$ ，所以点 $P$ 在线段 AC 上。故选 $C$ .

在进行向量运算时，要尽量将问题转化到平行四边形或三角形中，选择从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，并选用合适的回路．通过运用向量的加法和减法运算，来求解问题．这种方法可以简化向量运算的过程，使问题更易于处理和理解．

例 3.4

(2023 安徽统考) 已知 $\triangle ABC$ 的面积为 3, $P$ , $Q$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内异于点 $A$ 的两个不同的点，若 $\overrightarrow{PA} - (1 + 2\lambda)\overrightarrow{PC} = 0$ ，且 $\overrightarrow{QA} + \lambda\overrightarrow{QB} + \lambda\overrightarrow{QC} = \lambda\overrightarrow{BC}$ ，其中 $\lambda > 0$ ，则 $\triangle APQ$ 的面积为 ____.

思路分析

因为 $\triangle ABC$ 与 $\triangle APQ$ 含有公共角 $A$ ，故只需找到 $AP$ 与 $AC$ , $AQ$ 与 $AB$ 的数量关系即可得出面积．

解析

首先，由 $\lambda > 0$ , $\overrightarrow{PA} - (1 + 2\lambda)\overrightarrow{PC} = 0$ 可知 $P$ 在 $AC$ 的延长线上，设 $AC = 1$ , $CP = x$ ，则由 $\overrightarrow{PA} - (1 + 2\lambda)\overrightarrow{PC} = 0$ ，可知 $1 + x = (1 + 2\lambda)x$ ，即 $x = \frac{1}{2\lambda}$ ，也就是 $\overrightarrow{AP} = \frac{1 + 2\lambda}{2\lambda}\overrightarrow{AC}$ .

又因为 $\overrightarrow{QA} + \lambda \overrightarrow{QB} + \lambda \overrightarrow{QC} = \lambda \overrightarrow{BC}$ ，所以 $\overrightarrow{QA} + \lambda \overrightarrow{QB} + \lambda \overrightarrow{QC} = \lambda (\overrightarrow{QC} - \overrightarrow{QB})$ ，即 $\overrightarrow{AQ} = 2\lambda \overrightarrow{QB}$ ，这说明 $Q$ 在 $AB$ 之间．设 $QB = 1$ ，则 $AQ = 2\lambda$ ，所以 $\overrightarrow{AQ} = \frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}\overrightarrow{AB}$ .

因此 $|AP| = \frac{1 + 2\lambda}{2\lambda} |AC|$ , $|AQ| = \frac{2\lambda}{1 + 2\lambda} |AB|$ ．因为 $\triangle ABC$ 的面积为 3, 所以 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \sin A = 3$ ，则 $S_{\triangle APQ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 2\lambda}{2\lambda} |AC| \cdot \frac{2\lambda}{1 + 2\lambda} |AB| \sin A = \frac{1}{2} |AC| \cdot |AB| \sin A = 3$ ．所以 $\triangle APQ$ 的面积为 3, 故填 3.

变式 3.4.1

(2023 山东统考) 在 $\triangle ABC$ 中，若 $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2$ , $|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}| = 3$ ，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 ( ).

A. $\frac{3}{8}$ B. $\frac{3}{4}$ C. 1

D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

知识点 3.2

向量共线定理: 向量 $a(a \neq 0)$ 与向量 $b$ 共线的充要条件是: 存在唯一一个实数 $\lambda$ ，使得 $b = \lambda a$ .

向量共线定理的应用需要特别注意 $a \neq 0$ ，否则，若 $a = 0$ 且 $b \neq 0$ ，则不存在 $\lambda \in \mathbb{R}$ ，使得 $b = \lambda a$ ；若 $a = 0$ 且 $b = 0$ ，则使得 $b = \lambda a$ 成立的实数 $\lambda$ 不唯一。

例 3.5

(2015 全国Ⅱ理 13) 设向量 $a$ , $b$ 不平行，向量 $\lambda a + b$ 与 $a + 2b$ 平行，则实数 $\lambda =$ ____ .

解析

由于向量 $\lambda a + b$ 与 $a + 2b$ 平行，所以由向量共线定理可知，存在唯一的实数 $\mu$ ，使得 $\lambda a + b = \mu(a + 2b)$ ，对照系数可得 $\left\{\begin{aligned}\mu &= \lambda \\ 2\mu &= 1\end{aligned}\right.$ ，解得 $\lambda = \frac{1}{2}$ ．故填 $\frac{1}{2}$ .

向量只有大小和方向两个要素，与起点无关．不同的是，有向线段有起点、方向与长度三个要素．如果将向量用有向线段表示，那么共线定理就可以解决三点共线问题．

例 3.6

已知向量 $e_{1}, e_{2}$ 是两个不共线的向量， $\overrightarrow{AB} = 3e_{1} + 2e_{2}, \overrightarrow{CB} = ke_{1} + e_{2}, \overrightarrow{CD} = 3e_{1} - 2ke_{2}$ ，若 $A$ , $B$ , $D$ 三点共线，则 $k$ 等于 ( ).

A. $-\frac{9}{4}$ B. $-\frac{4}{9}$ C. $-\frac{3}{8}$ D. $-\frac{8}{3}$

解析

若 $A$ , $B$ , $D$ 三点共线，则存在一个实数 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{BD}$ ，又 $\overrightarrow{AB} = 3e_{1} + 2e_{2}$ ，而 $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB} = (3 - k)e_{1} - (2k + 1)e_{2}$ ，则 $3e_{1} + 2e_{2} = \lambda[(3 - k)e_{1} - (2k + 1)e_{2}]$ ，对照系数可得 $\left\{\begin{aligned}&3=\lambda(3-k)\\ &2=-\lambda(2k+1)\end{aligned}\right.$ ，解得 $k=-\frac{9}{4}$ ．故选 $A$ .

例 3.7

(2022 新高考 I 3) 在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在边 AB 上， BD = 2DA. 记 $\overrightarrow{CA} = m, \overrightarrow{CD} = n$ ，则 $\overrightarrow{CB} = (\quad)$ . A. $3m - 2n$ B. $-2m + 3n$ C. $3m + 2n$ D. $2m + 3n$

解析

因为 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$ ，所以 $B$ , $D$ , $A$ 三点共线。由向量的减法可得 $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD})$ ，整理得 $\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{CD}-2\overrightarrow{CA}=3n-2m$ 。故选 $B$ .

虽然本小节的三点共线我们讲的很基础，但是三点共线问题的难易度不会止步于此，我们会在 3.4 节深入研究三点共线问题．

变式 3.7.1

（2023 重庆统考）已知点 $D$ , $G$ 为 $\triangle ABC$ 所在平面内的点， $\overrightarrow{AD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ ， $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$ ，记 $S_{1}, S_{2}$ 分别为 $\triangle ABC, \triangle BDG$ 的面积，那么 $\frac{S_{2}}{S_{1}} = (\quad)$ . A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{5}$ C. $\frac{1}{6}$ D. $\frac{1}{7}$