3.4 三点共线 · 《新高考数学你真的掌握了吗（第二版）》

在 3.2 节和 3.3 节，我们一直不遗余力地向同学们灌输这样一个思想: 在处理向量问题时，优先考虑建立坐标系．

例 3.35

(2007 江西 15) 如图 3-26 所示，在 $\triangle ABC$ 中，点 $O$ 是 $BC$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB$ , $AC$ 于不同的两点 $M, N$ ．若 $\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{AC} = n\overrightarrow{AN}$ ，则 $m + n$ 的值为 ____.

查看解析与步骤

以点 $O$ 为坐标原点， BC 所在直线为 $x$ 轴， BC 的垂直平分线为 $y$ 轴建立直角坐标系，如图 3-27 所示．设 BC = 2, 则 $B(-1,0)$ , $C(1,0)$ ，设点 $A$ 坐标为 $(x_{0},y_{0})$ ，再设 $M(x_{1},y_{1})$ , $N(x_{2},y_{2})$ ．由 $\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{AM}$ ，可得 $\left\{\begin{aligned}x_{1}&=\frac{(m-1)x_{0}-1}{m}\\ y_{1}&=\frac{(m-1)y_{0}}{m}\end{aligned}\right.$ ．由 $\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$ 可得 $\left\{\begin{aligned}x_{2}&=\frac{(n-1)x_{0}+1}{n}\\ y_{2}&=\frac{(n-1)y_{0}}{n}\end{aligned}\right.$ ．又因为点 $M$ , $O$ , $N$ 三点共线，则 $\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{ON}$ ，可得 $x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}$ ，于是

\frac {(m - 1) x _ {0} - 1}{m} \cdot \frac {(n - 1) y _ {0}}{n} = \frac {(n - 1) x _ {0} + 1}{m} \cdot \frac {(m - 1) y _ {0}}{n},

化简可得 $[(m - 1)x_0 - 1](n - 1) = [(n - 1)x_0 + 1](m - 1)$ ，解得 $m + n = 2$ ，故填 2.

从例3.35的解析中可以看出，其计算量不小．然而，如果我们采用几何法，计算量将大大减少 (见例3.36). 因此，我们不能盲目地建立坐标系，而是要考虑建系是否方便和计算量会不会过大．如果建系会导致巨大的计算量，强行建系是不可取的．在这种情况下，可以考虑采用几何法．然而，几何法多种多样，为了最小化代价，本书的后几节将介绍一些最常见、最基本的几何法．

我们先从三点共线开始．

如果 $A, P, B$ 三点共线，由共线定理可知，必然存在 $\lambda$ ，使得 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$ 成立。反之，如果 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$ ，那么由共线定理可知向量 $\overrightarrow{AP}$ 与向量 $\overrightarrow{PB}$ 共线，因为这两个有向线段有公共点，所以可知 $A, P, B$ 三点共线。若对 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$ 进行减法变形，我们会得到如下结论：

结论总结 3.2

$A$ , $P$ , $B$ 三点共线 $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB} \Longleftrightarrow \overrightarrow{OP} = x \overrightarrow{OA} + y \overrightarrow{OB} (x + y = 1)$ .

对于这个结论，一定要熟练掌握，它是高考中的高频考点，下面给出 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$ 是 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}(x + y = 1)$ 充要条件的证明．

证明

(1) 先证充分性: 因为 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$ ，故由向量的减法可得

\overrightarrow {O P} - \overrightarrow {O A} = \lambda (\overrightarrow {O B} - \overrightarrow {O P}) \Longrightarrow \overrightarrow {O P} = \frac {1}{1 + \lambda} \overrightarrow {O A} + \frac {\lambda}{1 + \lambda} \overrightarrow {O B}.

令 $x = \frac{1}{1 + \lambda}, y = \frac{\lambda}{1 + \lambda}$ ，则 $x + y = 1$ .

(2) 再证必要性: 因为 $\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}$ 且 $x + y = 1$ ，所以可以将其改写为 $x\overrightarrow{OP} + (1 - x)\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + (1 - x)\overrightarrow{OB}$ ，于是

x \left(\overrightarrow {O P} - \overrightarrow {O A}\right) = (1 - x) \left(\overrightarrow {O B} - \overrightarrow {O P}\right) \Longrightarrow x \overrightarrow {A P} = (1 - x) \overrightarrow {P B}.

令 $\lambda = \frac{1 - x}{x} = \frac{y}{x}$ ，可得 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB}$ .

从上面的证明过程可以看出，若点 $P$ 落在线段 $AB$ 之间，如图 3-28 所示，则 $\lambda > 0$ ，此时 $x = \frac{1}{1 + \lambda} > 0$ , $y = \frac{\lambda}{1 + \lambda} > 0$ ; 若点 $P$ 的延长线上，如图 3-29 所示，则 $AB$ 的延长线上，如图 3-29 所示，则 $\lambda < -1$ ，此时 $x = \frac{1}{1 + \lambda} < 0$ , $y = \frac{\lambda}{1 + \lambda} > 0$ 的反向延长线上，如图 3-30 所示，则 $P$ 落在线段 $AB$ 的反向延长线上，如图 3-30 所示，则 $-1 < \lambda < 0$ ，此时 $x = \frac{1}{1 + \lambda} > 0$ , $y = \frac{\lambda}{1 + \lambda} < 0$ .

我们也可以这样来理解记忆，若 $P$ 落在线段 $AB$ 之间，则 $x, y > 0$ ; 若 $P$ 落在线段 $AB$ 之外， $x$ 与 $y$ 有一个为负数，至于谁负，就看 $P$ 离谁远．若 $P$ 在 $AB$ 之外且离 $A$ 远，则 $x < 0$ ; 若 $P$ 在 $AB$ 之外且离 $B$ 远，则 $y < 0$ .