4.3.4 切线与切点弦

知识点 4.21

过圆 $O:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ 作圆的切线，则切线方程为 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$ .

证明

设点 $P(x_0,y_0)$ , $M(x,y)$，由于 $PM$ 为圆的切线，所以 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{OP}=0$，由此可得 $x(x_0-a)+y(y_0-b)=x_0^2-a{x}_0+y_0^2-b{y}_0$．利用 $(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2=r^2$ 化简可得 $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$ .

什么时候用知识点4.21来求切线方程呢？顾名思义，在知道圆上的切点时，求切线方程用知识点4.21最简单．

例 4.44

（2023 天津模拟）已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0,m)$ ，半径长是 $r$。若直线 $2x-y+3=0$ 与圆 $C$ 相切于点 $A(-2,-1)$ ，则 m = ____；r = ____.

查看解析与步骤

设圆 $C$ 的方程为 $x^2+(y-m{)}^2=r^2$．因为直线与圆 $C$ 相切于 $A(-2,-1)$ ，则切线方程为 $-2x+(-1-m)(y-m)=r^2$ ，整理得 $2x+(1+m)y+m(-1-m)+r^2=0$ 。又因为切线方程为 $2x-y+3=0$ ，所以 $\{\begin{array}{rl}& 1+m=-1\\ & m(-1-m)+r^2=3\end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{rl}& m=-2\\ & r=\sqrt{5}\end{array}$ 。故填 -2; $\sqrt{5}$ .

知识点 4.22

过圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 外一点 $P(x_0,y_0)$ 作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$ .

证明

设两切点为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ ，则切线 $PA:(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$ ，切线 $PB:(x_2-a)(x-a)+(y_2-b)(y-b)=r^2$ 。因为 $P(x_0,y_0)$ 同时在直线 $PA$ 和直线 $PB$ 上，所以将 $P(x_0,y_0)$ 代入两条直线得 $\{\begin{array}{l}(x_1-a)(x_0-a)+(y_1-b)(y_0-b)=r^2\\ (x_2-a)(x_0-a)+(y_2-b)(y_0-b)=r^2\end{array}$ ，由此可知 $A,B$ 在直线 $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$ 上，即直线 $AB$ 的方程为 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$ 。

例 4.45

(2013 山东理 9) 过点 $P(3,1)$ 作圆 $C:(x-1{)}^2+y^2=1$ 的两条切线，切点为 $A$, $B$，则直线 AB 的方程为 ( ).
A. $2x+y-3=0$ B. $2x-y-3=0$ C. $4x-y-3=0$ D. $4x+y-3=0$

查看解析与步骤

由知识点4.21可知直线 $AB$ 的方程为 $(x-1)(3-1)+y=1$ ，即 $2x+y-3=0$．故选$A$.

变式 4.45.1

已知圆 $C:x^2+y^2=4$ ，点 $P$ 为直线 $x+2y-9=0$ 上一动点，过点 $P$ 引两条切线 $PA,PB,A,B$ 为切点，则直线 $AB$ 经过定点（ ）.

A. $\left(\frac{4}{9},\frac{8}{9}\right)$ B. $\left(\frac{2}{9},\frac{4}{9}\right)$ C. (2,0)

D. (9,0)