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【知识点 3.16】内心, 顾名思义, 即内切圆的圆心, 它是三条角平分线的交点.

✍️ 例 3.82

已知 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP→=OA→+λ(AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right) , λ∈[0,+∞)\lambda \in [0, +\infty) , 则点 P 的轨迹一定通过 △ABC\triangle ABC 的 ( ).

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

🔑 解析

因为 AB→∣AB→∣\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} ， AC→∣AC→∣\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} 分别表示 AB→\overrightarrow{AB} ， AC→\overrightarrow{AC} 方向上的单位向量，所以 AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} 与 ∠BAC\angle BAC 的角平分线共线。由 OP→=OA→+λ(AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right) ，可得 AP→=λ(AB→∣AB→∣+AC→∣AC→∣)\overrightarrow{AP} = \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right) ，所以 AP→\overrightarrow{AP} 与 ∠BAC\angle BAC 的角平分线共线，则点 P 的轨迹一定通过 △ABC\triangle ABC 的内心。故选 B.

内心与角平分线密切相关, 而角平分线有一个很重要的定理: 角平分线定理.

📦 角平分线定理

在 △ABC\triangle ABC 中, ADAD 为 ∠BAC\angle BAC 的角平分线, 则 ABAC=BDCD\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} .

✍️ 例 3.83

已知 △ABC\triangle ABC 中, AB = 3, AC = 2, D 是 BC 边上一点. A, P, D 三点共线, 若 AP→=2AB→∣AB→∣+2AC→∣AC→∣\overrightarrow{AP} = \frac{2\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{2\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} , 则 △BPD\triangle BPD 与 △CPD\triangle CPD 的面积比为 ( ). A. 32\frac{3}{2} B. 32\frac{\sqrt{3}}{2} C. 94\frac{9}{4} D. 49\frac{4}{9}

🔑 解析

由 AP→=2AB→∣AB→∣+2AC→∣AC→∣\overrightarrow{AP} = \frac{2\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} +\frac{2\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} ，可知 PP 在 ∠BAC\angle BAC 的角平分线上，如图3-79所示．又由于 A,P,DA,P,D 三点共线，且 DD 是 BCBC 边上一点，所以根据角平分线定理得 BDDC=ABAC=32\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{2} ，从而 S△BPDS△CPD=BDCD=32\frac{S_{\triangle BPD}}{S_{\triangle CPD}} = \frac{BD}{CD} = \frac{3}{2} 故选A.


图3-79

🎯 变式 3.83.1

设 O 是 △ABC\triangle ABC 的内心, AB = c, AC = b, 若 AO→=λ1AB→+λ2AC→\overrightarrow{AO} = \lambda_{1}\overrightarrow{AB} + \lambda_{2}\overrightarrow{AC} , 则 ( ). A. λ1λ2=bc\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{b}{c} B. λ12λ22=bc\frac{\lambda_{1}^{2}}{\lambda_{2}^{2}} = \frac{b}{c} C. λ1λ2=c2b2\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{c^{2}}{b^{2}} D. λ12λ22=cb\frac{\lambda_{1}^{2}}{\lambda_{2}^{2}} = \frac{c}{b}