【知识点 3.16】内心, 顾名思义, 即内切圆的圆心, 它是三条角平分线的交点. · 《新高考数学你真的掌握了吗（第二版）》

例 3.82

已知 $O$ 是平面上一定点， $A$ , $B$ , $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right)$ , $\lambda \in [0, +\infty)$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的 ( ).

A. 外心 $B$ ．内心 $C$ ．重心 $D$ ．垂心

解析

因为 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ ， $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 分别表示 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AC}$ 方向上的单位向量，所以 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 与 $\angle BAC$ 的角平分线共线。由 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right)$ ，可得 $\overrightarrow{AP} = \lambda \left( \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right)$ ，所以 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\angle BAC$ 的角平分线共线，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的内心。故选 $B$ .

内心与角平分线密切相关，而角平分线有一个很重要的定理: 角平分线定理．

角平分线定理

在 $\triangle ABC$ 中， $AD$ 为 $\angle BAC$ 的角平分线，则 $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$ .

例 3.83

已知 $\triangle ABC$ 中， AB = 3, AC = 2, $D$ 是 BC 边上一点． A, $P$ , $D$ 三点共线，若 $\overrightarrow{AP} = \frac{2\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} + \frac{2\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ ，则 $\triangle BPD$ 与 $\triangle CPD$ 的面积比为 ( ). A. $\frac{3}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{9}{4}$ D. $\frac{4}{9}$

解析

由 $\overrightarrow{AP} = \frac{2\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} +\frac{2\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ ，可知 $P$ 在 $\angle BAC$ 的角平分线上，如图 3-79所示．又由于 $A,P,D$ 三点共线，且 $D$ 是 $BC$ 边上一点，所以根据角平分线定理得 $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{2}$ ，从而 $\frac{S_{\triangle BPD}}{S_{\triangle CPD}} = \frac{BD}{CD} = \frac{3}{2}$ 故选 $A$ .

变式 3.83.1

设 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的内心， AB = c, AC = b, 若 $\overrightarrow{AO} = \lambda_{1}\overrightarrow{AB} + \lambda_{2}\overrightarrow{AC}$ ，则 ( ). A. $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{b}{c}$ B. $\frac{\lambda_{1}^{2}}{\lambda_{2}^{2}} = \frac{b}{c}$ C. $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{c^{2}}{b^{2}}$ D. $\frac{\lambda_{1}^{2}}{\lambda_{2}^{2}} = \frac{c}{b}$