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1.1.3 两角和差公式

💡 知识点 1.3

（1） Sα±β\mathrm{S}_{\alpha \pm \beta} ： sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β(α,β∈R)\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta (\alpha ,\beta \in \mathbb{R})

（2） Cα±β\mathrm{C}_{\alpha \pm \beta} ： cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β(α,β∈R)\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta (\alpha ,\beta \in \mathbb{R})

（3） Tα±β\mathrm{T}_{\alpha \pm \beta} ： tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β(α,β,α±β≠π2+kπ,k∈Z).\tan (\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\left(\alpha ,\beta ,\alpha \pm \beta \neq \frac{\pi}{2} +k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).

📌 标注说明

我们推荐同学们记住这6个公式, 如果有同学不愿意记这么多, 就只需要记住两角和 α+β\alpha + \beta 的三个公式, 两角差 α−β\alpha - \beta 可以改写为 α+(−β)\alpha + (-\beta) , 然后结合诱导公式就可以推出来.

两角和差公式的应用有三个方面. 第一是正用公式, 所谓正用公式, 就是将 cos⁡(α±β)\cos (\alpha \pm \beta) , sin⁡(α±β)\sin (\alpha \pm \beta) , tan⁡(α±β)\tan (\alpha \pm \beta) 按知识点1.3展开, 例如下面例题正用两角和的正切公式.

✍️ 例 1.6

（2020 全国Ⅲ理 9）已知 2tan⁡θ−tan⁡(θ+π4)=72\tan\theta - \tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 7 ，则 tan⁡θ=()\tan\theta = (\quad) . A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

🔑 查看解析与步骤

本例求解的是 tan⁡θ\tan \theta 的值, 很明显需要对三角函数式 2tan⁡θ−tan⁡(θ+π4)=72\tan \theta - \tan \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 7 化简, 这个化简实质就是利用正切公式将 tan⁡(θ+π4)\tan \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) 展开. 由题意可得 2tan⁡θ−1+tan⁡θ1−tan⁡θ=72\tan \theta - \frac{1 + \tan \theta}{1 - \tan \theta} = 7 , 整理得 tan⁡2θ−4tan⁡θ+4=0\tan^2\theta - 4\tan \theta + 4 = 0 , 解得 tan⁡θ=2\tan \theta = 2 , 故选 D .

第二是逆用公式, 所谓逆用公式, 就是观察式子是否符合公式 (见知识点1.3) 右侧的特征.

✍️ 例 1.7

(2014 全国 I 理 8) 设 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , β∈(0,π2)\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ，且 tan⁡α=1+sin⁡βcos⁡β\tan \alpha = \frac{1 + \sin \beta}{\cos \beta} ，则 ( )。 A. 3α−β=π23\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} B. 2α−β=π22\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} C. 3α+β=π23\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} D. 2α+β=π22\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}

🔑 查看解析与步骤

因为等式中既有切, 又有弦, 故先利用商数关系切化弦.

由 tan⁡α=1+sin⁡βcos⁡β\tan \alpha = \frac{1 + \sin \beta}{\cos \beta} , 得 sin⁡αcos⁡α=1+sin⁡βcos⁡β\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 + \sin \beta}{\cos \beta} , 交叉相乘得 sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β⏟①=cos⁡α\underbrace{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}_{①} = \cos \alpha . ①符合公式 S(α−β)S_{(\alpha - \beta)} 等号右侧的结构特征, 故 sin⁡(α−β)=cos⁡α\sin (\alpha - \beta) = \cos \alpha , 又 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , β∈(0,π2)\beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , 易得 α−β∈(0,π2)\alpha - \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , 所以 (α−β)+α=π2(\alpha - \beta) + \alpha = \frac{\pi}{2} , 即 2α−β=π22\alpha - \beta = \frac{\pi}{2} , 故选 B.

例1.7中的切化弦是一个很重要的技巧, 现总结如下: