Skip to content
MinerU + Astro

1.1.2 诱导公式

高中数学中有一些刻骨铭心的公式口诀, 很多人即便走上工作岗位, 从事与数学完全不相关的工作,但仍能够流利地背诵它们 (也许他们完全忘记了这些公式的具体含义). 现在, 我们来看看诱导公式的口诀: “奇变偶不变, 符号看象限”.

💡 知识点 1.2

求 π2⋅k±α(k∈Z)\frac{\pi}{2} \cdot k \pm \alpha (k \in Z) 的三角函数值, 可以用诱导公式, 其口诀为 “奇变偶不变, 符号看象限”, 其中 α\alpha 当成锐角看.

📌 标注说明

口诀的解释: 奇变偶不变是指, 当 kk 为奇数时, 函数名改变, 即正弦变余弦, 余弦变正弦; 当 kk 为偶数时, 三角函数名不改变, 即正弦还是正弦, 余弦还是余弦. 符号看象限是指, 在把 α\alpha 当成锐角的前提下, 看的是 π2⋅k±α(k∈Z)\frac{\pi}{2} \cdot k \pm \alpha (k \in \mathbb{Z}) 在原三角函数所在象限的符号.

我们通过下面例题详细解释口诀的含义.

✍️ 例 1.4

（2023 辽宁期中）已知 sin⁡37∘=35\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5} 则 cos⁡593∘=()\cos 593^{\circ} = (\quad) .

A. 35\frac{3}{5} B. −35-\frac{3}{5} C. 45\frac{4}{5} D. −45-\frac{4}{5}

🔑 解析 1

cos⁡593∘=cos⁡(90∘×6+53∘)\cos593^{\circ}=\cos(90^{\circ}\times6+53^{\circ}) ，因为6是偶数，所以函数名不变，即余弦还是余弦，又 90∘×6+90^{\circ}\times6+ 锐角在第三象限，故余弦为负，所以 cos⁡593∘=−cos⁡53∘=−cos⁡(90∘×1−37∘)\cos593^{\circ}=-\cos53^{\circ}=-\cos(90^{\circ}\times1-37^{\circ}) 。因为1是奇数，

所以函数名改变, 即余弦变正弦. 又 90∘×1−锐角⏟②\underbrace{90^{\circ} \times 1 - \text{锐角}}_{②} 在第一象限, 故余弦为正, 所以 cos⁡53∘=sin⁡37∘=35\cos 53^{\circ} = \sin 37^{\circ} = \frac{3}{5} , 即 cos⁡593∘=−35\cos 593^{\circ} = -\frac{3}{5} , 故选 B.

解析 1 先用了 “偶不变”, 我们也可以先用 “奇变”.

🔑 解析 2

cos⁡593∘=cos⁡(90∘×7−37∘)\cos 593^{\circ} = \cos (90^{\circ} \times 7 - 37^{\circ}) , 因为 7 是奇数, 所以函数名改变, 即余弦变正弦, 又 90∘×7−90^{\circ} \times 7 - 锐角 在第三象限, 故余弦为负, 所以 cos⁡593∘=−sin⁡37∘=−35\cos 593^{\circ} = -\sin 37^{\circ} = -\frac{3}{5} , 故选 B.

同学们是否对①②③有疑问呢？以①为例，明明是 90∘×6+53∘90^{\circ} \times 6 + 53^{\circ} ，我们为什么要写成 90∘×6+90^{\circ} \times 6 + 锐角呢？这是因为我们要强调口诀中 α\alpha 当成锐角看这句话， α\alpha 只是当成，而不一定必须是锐角。

✍️ 例 1.5

(2023 广东单元测试) 已知角 α\alpha 终边上一点 P(−2,3)P(-2,3) ，则 cos⁡(π2+α)sin⁡(π+α)cos⁡(π−α)sin⁡(3π−α)\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin(\pi+\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)\sin(3\pi-\alpha)} 的值为 ( )。

A. 32\frac{3}{2} B. −32-\frac{3}{2} C. 23\frac{2}{3} D. −23-\frac{2}{3}

🔑 查看解析与步骤

因为点 P(−2,3)P(-2,3) 在角 α\alpha 终边上, 所以 tan⁡α=−32\tan \alpha = -\frac{3}{2} . 显然 α\alpha 是第二象限角, 但用诱导公式口诀时, 我们要把 α\alpha 当成锐角看, 于是得到

原式=cos⁡(π2×1+α)⋅sin⁡(π2×2+α)cos⁡(π2×2−α)⋅sin⁡(π2×6−α)=(−sin⁡α)(−sin⁡α)−cos⁡αsin⁡α=−tan⁡α=32.\text {原式} = \frac {\cos \left(\frac {\pi}{2} \times 1 + \alpha\right) \cdot \sin \left(\frac {\pi}{2} \times 2 + \alpha\right)}{\cos \left(\frac {\pi}{2} \times 2 - \alpha\right) \cdot \sin \left(\frac {\pi}{2} \times 6 - \alpha\right)} = \frac {(- \sin \alpha) (- \sin \alpha)}{- \cos \alpha \sin \alpha} = - \tan \alpha = \frac {3}{2}.

故选 A.

用诱导公式的前提条件是角度能化为 π2⋅k±α(k∈Z)\frac{\pi}{2} \cdot k \pm \alpha (k \in \mathbb{Z}) 的形式, 如果不能化为这种形式, 则需要观察题目中出现的多个角是否能够通过加或减凑出 π2⋅k(k∈Z)\frac{\pi}{2} \cdot k (k \in \mathbb{Z}) , 如果能, 那么依然能用诱导公式. 在 1.2 节我们会详细讲解.

🎯 变式 1.5.1

(2023 辽宁联考) 若 cos⁡(7π2+α)=47,tan⁡α<0,cos⁡(π−α)+sin⁡(π2−α)⋅tan⁡α=\cos\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{4}{7},\tan\alpha<0,\cos(\pi-\alpha)+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cdot\tan\alpha= ( ).

A. 4−337\frac{4-\sqrt{33}}{7} B. 4+337\frac{4+\sqrt{33}}{7} C. −4+337\frac{-4+\sqrt{33}}{7} D. −4−337\frac{-4-\sqrt{33}}{7}