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4.4.1 圆上动点到一定点的最值问题

定点到圆上动点的距离的最值是初中的核心考点, 即无论点在圆外、圆上还是圆内, 它到圆上的动点的距离最大值为定点到圆心的距离加半径, 最小值为定点到圆心的距离减半径, 如果是负的再添加绝对值.

💡 知识点 4.23

设 P 是平面上一定点, Q 是圆 C 上的动点, r 是圆的半径, 则 ∣PQ∣max⁡=∣PC∣+r,∣PQ∣min⁡=∣∣PC∣−r∣\left|PQ\right|_{\max}=\left|PC\right|+r,\quad\left|PQ\right|_{\min}=\left|\left|PC\right|-r\right|

✍️ 例 4.48

已知点 P(3,2)P(3,2) ，点 M 是圆 C1:(x−1)2+y2=1C_{1}:(x-1)^{2}+y^{2}=1 上的动点，则 ∣PM∣|PM| 的最大值和最小值分别为 ____；____。

🔑 查看解析与步骤

圆 C1C_1 的圆心 C1(1,0)C_1(1,0) , 半径 r=1r = 1 , 又因为 P(3,2)P(3,2) , 所以 ∣PC1∣=(3−1)2+22=22|PC_1| = \sqrt{(3 - 1)^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} , 则由知识点4.23得 ∣PM∣max⁡=∣PC1∣+r=22+1|PM|_{\max} = |PC_1| + r = 2\sqrt{2} + 1 , ∣PM∣min⁡=22−1|PM|_{\min} = 2\sqrt{2} - 1 , 故填 22+1;22−12\sqrt{2} + 1; 2\sqrt{2} - 1 .

✍️ 例 4.49

(2014 北京文 7) 已知圆 C:(x−3)2+(y−4)2=1C: (x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 1 和两点 A(−m,0)A(-m, 0) , B(m,0)(m>0)B(m, 0) (m > 0) . 若圆 C 上存在点 P, 使得 ∠APB=90∘\angle APB = 90^{\circ} , 则 m 的最大值为 ( ). A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

🔑 查看解析与步骤

如图4-21所示，因为 ∠APB=90∘\angle APB = 90^{\circ} ，且 OO 为 Rt △ABP\triangle ABP 斜边 ABAB 的中点，所以 ∣OP∣=12∣AB∣=m|OP| = \frac{1}{2} |AB| = m ，故只需求 ∣OP∣|OP| 的最大值即可。因为 ∣OP∣max⁡=∣OC∣+∣CP∣=6|OP|_{\max} = |OC| + |CP| = 6 ，所以 mm 的最大值为6。故选B。

🎯 变式 4.49.1

（2023 山东模拟）已知实数 a, b 满足 a2+b2−4a+3=0a^{2} + b^{2} - 4a + 3 = 0 ，则 a2+(b+2)2a^{2} + (b + 2)^{2} 的最大值为 ____.

图4-21

🎯 变式 4.49.2

(2023 北京模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 P 是圆 C:(x−3)2+(y−4)2=1C: (x-3)^{2} + (y-4)^{2} = 1 上的动点. 若 A(−a,0)A(-a,0) , B(a,0)B(a,0) , a≠0a \neq 0 , 则 ∣PA→+PB→∣|\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}| 的最大值为 ( ). A. 16 B. 12 C. 8 D. 6

以上例题及其变式都是圆上一动点与一定点距离的最值问题, 下面我们做一点点拓展, 探讨一定点到几个不同圆上的距离和或差的问题. 这类问题很简单, 我们先给出如下知识点:

💡 知识点 4.24

设 P 是平面上一定点, A 和 B 分别是圆 O1O_{1} 和圆 O2O_{2} 上的动点, 则 (∣PA∣+∣PB∣)min⁡=∣PA∣min⁡+∣PB∣min⁡.(|PA|+|PB|)_{\min}=|PA|_{\min}+|PB|_{\min}.

📌 标注说明

一般来说, 求多个代数式之和的最小值不能简单地转化为求每一项的最小值, 我们需要进行整体处理. 然而, 在这里之所以可以这样做, 是因为 AA 和 BB 是相互独立的, 所以 ∣PA∣|PA| 和 ∣PB∣|PB| 是两个不相关的变量. 类似的问题在函数成立问题中也经常遇到.

同样地, 我们可以求解其他几种情形下的最值问题. 原理都是一样的, 只要抓住 ∣PA∣|PA| 和 ∣PB∣|PB| 是两个不相关的变量, 求它们的和或差的最值可以转化为求每一项的最值. 接下来, 我们将陈述这些结论, 不必刻意去记忆, 只要掌握原理即可.

(∣PA∣+∣PB∣)max⁡=∣PA∣max⁡+∣PB∣max⁡,(∣PA∣−∣PB∣)max⁡=∣PA∣max⁡−∣PB∣min⁡,(∣PA∣−∣PB∣)min⁡=∣PA∣min⁡−∣PB∣max⁡.\begin{array}{l} (| P A | + | P B |) _ {\max} = | P A | _ {\max} + | P B | _ {\max}, \\ (| P A | - | P B |) _ {\max} = | P A | _ {\max} - | P B | _ {\min}, \\ (| P A | - | P B |) _ {\min} = | P A | _ {\min} - | P B | _ {\max}. \end{array}
✍️ 例 4.50

(2023 山东模拟) 已知点 P(3,2)P(3,2) ，点 M 是圆 C1:(x−1)2+y2=1C_{1}:(x-1)^{2}+y^{2}=1 上的动点，点 N 是 C2:x2+(y−2)2=1C_{2}:x^{2}+(y-2)^{2}=1 上的动点，则 ∣PN∣−∣PM∣|PN|-|PM| 的最大值是（）.

A. 5−225-2\sqrt{2} B. 5+225+2\sqrt{2} C. 22−22\sqrt{2}-2 D. 3−223-2\sqrt{2}

🔑 查看解析与步骤

如图4-22所示, 因为动点 MM 和动点 NN 不相关, 因此 ∣PN∣−∣PM∣|PN| - |PM| 最大值等价于 ∣PN∣|PN| 取最大且 ∣PM∣|PM| 取最小. 因为 ∣PN∣|PN| 最大值为 ∣PC2∣+1|PC_2| + 1 , ∣PM∣|PM| 的最小值为 ∣PC1∣−1|PC_1| - 1 , 所以 ∣PN∣−∣PM∣|PN| - |PM| 最大值是 (∣PC2∣+1)−(∣PC1∣−1)=∣PC2∣−∣PC1∣+2=5−22(|PC_2| + 1) - (|PC_1| - 1) = |PC_2| - |PC_1| + 2 = 5 - 2\sqrt{2} , 故选A.

✍️ 例 4.51

已知 a, b, e1e_{1} , e2e_{2} 是平面向量, e1e_{1} , e2e_{2} 是单位向量且 e1⋅e2=0e_{1} \cdot e_{2} = 0 . 若 a2−4a⋅e1+2e12=0a^{2} - 4a \cdot e_{1} + 2e_{1}^{2} = 0 , b2+3b⋅e1+2e12=0b^{2} + 3b \cdot e_{1} + 2e_{1}^{2} = 0 , 则 ∣a−2e2∣+∣b−2e2∣|a - 2e_{2}| + |b - 2e_{2}| 的最小值为 ____.


图4-22

(|PA|+|PB|)min=|PO1|-r1+|PO2|-r2=|O1O2|-r1-r2.
(2)若圆O1和圆O2在直线l的同侧,如图4-25所示,作O1关于直线l的对称点,记为O1’,则线段O1’O2与直线l的交点为P,且
(|PA|+|PB|)min=|PO1|-r1+|PO2|-r2=|PO1’-r1+|PO2|-r2=|O1’O2|-r1-r2.

上式表示为点 E(0,2)E(0,2) 到点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1}) 与 B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}) 的距离之和，即求 ∣EA∣+∣EB∣|EA| + |EB| 的最小值。又因为点 AA 和点 BB 相互独立，所以 (∣EA∣+∣EB∣)min⁡=∣EA∣min⁡+∣EB∣min⁡(|EA| + |EB|)_{\min} = |EA|_{\min} + |EB|_{\min} ，于是
则 ∣a−2e2∣+∣b−2e2∣|a - 2e_2| + |b - 2e_2| 的最小值为 2+2\sqrt{2} + 2 , 故填 2+22 + \sqrt{2} .
我们回顾下知识点4.24, 其中 PP 是定点. 若 PP 是某条直线 ℓ\ell 上一动点, 则求 ∣PA∣+∣PB∣|PA| + |PB| 的最小值可以转化为将军饮马模型.
下面, 我们回忆一下经典的将军饮马模型: 定点 AA , BB 分布在定直线 ℓ\ell 同侧, 在 ℓ\ell 上找一点 PP , 使得 ∣PA∣+∣PB∣|PA| + |PB| 最小. 众所周知的做法是作点 AA 关于 ℓ\ell 的对称点 A′A' , 连接 A′BA'B , 它与 ℓ\ell 的交点就是所求点 PP , 且 (∣PA∣+∣PB∣)min⁡=∣A′B∣(|PA| + |PB|)_{\min} = |A'B| .
对于将军饮马问题, 我们需要对条件 “定点 A, B 分布在定直线 ℓ\ell 同侧” 引起重视, 因为若定点 A, B 分布在定直线 ℓ\ell 两侧, 就不需要作对称点了, 只要连接 AB 就可以了.
根据上述的讨论, 我们可以得到如下知识点:

🧠 思路分析

已知题中的 a2−4a⋅e1+2e12=0a^2 - 4a \cdot e_1 + 2e_1^2 = 0 和 b2+3b⋅e1+2e12=0b^2 + 3b \cdot e_1 + 2e_1^2 = 0 是两个数量积圆, 而题中求的是两个模长和的最小值. 我们可以通过建系求出两个圆的方程, 将所求的模长转化为一定点到两圆上的动点的距离和问题.

🔑 查看解析与步骤

先把向量 e1e_1 的坐标固定在坐标轴上，令 OM→=e1=(1,0)\overrightarrow{OM} = e_1 = (1,0) ，由 e2e_2 是单位向量且 e1⋅e2=0e_1 \cdot e_2 = 0 ，可令 ON→=e2=(0,1)\overrightarrow{ON} = e_2 = (0,1) . 向量 aa 的坐标不能确定，故设 OA→=a=(x1,y1)\overrightarrow{OA} = a = (x_1, y_1) ，由 a2−4a⋅e1+2e12=0a^2 - 4a \cdot e_1 + 2e_1^2 = 0 可得 x12+y12−4x1+2=0x_1^2 + y_1^2 - 4x_1 + 2 = 0 ，整理可得 (x1−2)2+y12=2(x_1 - 2)^2 + y_1^2 = 2 ，即点 AA 在以 O1(2,0)O_1(2,0) 为圆心， 2\sqrt{2} 为半径的圆上.

如图 4-23 所示, 设 OB→=b=(x2,y2)\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b} = (x_{2}, y_{2}) , 由 b2+3be1+2e12=0b^{2} + 3be_{1} + 2e_{1}^{2} = 0 可得 (x2+32)2+y22=14\left(x_{2} + \frac{3}{2}\right)^{2} + y_{2}^{2} = \frac{1}{4} , 即点 B 在以 O2(−32,0)O_{2}\left(-\frac{3}{2}, 0\right) 为圆心, 12\frac{1}{2} 为半径的圆上. 于是

图4-23

∣a−2e2∣+∣b−2e2∣=∣OA→−2ON→∣+∣OB→−2ON→∣=x12+(y1−2)2+x22+(y2−2)2.\left| \boldsymbol {a} - 2 \boldsymbol {e} _ {2} \right| + \left| \boldsymbol {b} - 2 \boldsymbol {e} _ {2} \right| = \left| \overrightarrow {O A} - 2 \overrightarrow {O N} \right| + \left| \overrightarrow {O B} - 2 \overrightarrow {O N} \right| = \sqrt {x _ {1} ^ {2} + (y _ {1} - 2) ^ {2}} + \sqrt {x _ {2} ^ {2} + (y _ {2} - 2) ^ {2}}.(∣EA∣+∣EB∣)min⁡=(∣EO1∣−r1)+(∣EO2∣−r2)=∣EO1∣+∣EO2∣−2−12=2+2,\left(| E A | + | E B |\right) _ {\min} = \left(| E O _ {1} | - r _ {1}\right) + \left(| E O _ {2} | - r _ {2}\right) = | E O _ {1} | + | E O _ {2} | - \sqrt {2} - \frac {1}{2} = \sqrt {2} + 2,


图4-24


图4-25

✍️ 例 4.52

(2013 重庆理 7) 已知圆 C1:(x−2)2+(y−3)2=1C_{1}:(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=1 ，圆 C2:(x−3)2+(y−4)2=9C_{2}:(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=9 ，M, N 分别是圆 C1,C2C_{1}, C_{2} 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则 ∣PM∣+∣PN∣|PM|+|PN| 的最小值为（）.

A. 52−45\sqrt{2}-4 B. 17−1\sqrt{17}-1 C. 6−226-2\sqrt{2} D. 17\sqrt{17}

🔑 查看解析与步骤

在 xx 轴上任取一点 PP , 由于 M,NM, N 分别是圆 C1,C2C_1, C_2 上的动点, 所以 ∣PM∣|PM| 的最小值为 ∣PC1∣−1,∣PN∣|PC_1|-1, |PN| 的最小值为 ∣PC2∣−3|PC_2|-3 , 即 ∣PM∣+∣PN∣|PM| + |PN| 的最小值为 ∣PC1∣+∣PC2∣−4|PC_1| + |PC_2|-4 , 如图 4-26 所示, 作 C1(2,3)C_1(2,3) 关于 xx 轴的对称点 C1′(2,−3)C_1'(2,-3) , 则

∣PC1∣+∣PC2∣−4=∣PC1′∣+∣PC2∣−4⩾∣C1′C2∣−4=52−4.\left| P C _ {1} \right| + \left| P C _ {2} \right| - 4 = \left| P C _ {1} ^ {\prime} \right| + \left| P C _ {2} \right| - 4 \geqslant \left| C _ {1} ^ {\prime} C _ {2} \right| - 4 = 5 \sqrt {2} - 4.

故选 A.

🎯 变式 4.52.1

（2023 河南模拟）已知点 P 为直线 y=x+1y = x + 1 上的一点，M, N 分别为圆 C1:(x−4)2+(y−1)2=1C_{1}:(x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 1 与圆 C2:(x−3)2+(y−1)2=1C_{2}:(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 1 上的点，则 ∣PM∣+∣PN∣|PM| + |PN| 的最小值为（）.

A. 5 B. 3 C. 2 D. 1

🎯 变式 4.52.2

(2023 浙江模拟) 已知圆 C:x2+y2−4y+3=0C: x^{2} + y^{2} - 4y + 3 = 0 ，点 M(7,12)M(7,12) ，直线 ℓ:y=x\ell: y = x 。点 P 是圆 C 上的动点，点 Q 是 ℓ\ell 上的动点，则 ∣PQ∣+∣QM∣|PQ| + |QM| 的最小值为（）.A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

✍️ 例 4.53

(2023 泉州模考) 已知点 P 在直线 y = x - 2 上运动, 点 E 是圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 上的动点, 点 F 是圆 (x−6)2+(y+2)2=9(x - 6)^{2} + (y + 2)^{2} = 9 上的动点, 则 ∣PF∣−∣PE∣|PF| - |PE| 的最大值为 ( ). A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

🧠 思路分析

由三角不等式可得 ∣PF∣−∣PE∣⩽∣EF∣|PF| - |PE| \leqslant |EF| ，当且仅当 E,F,PE, F, P 三点共线且 EE 在 F,PF, P 之间时等号成立。但是，由图4-27可知，直线 ℓ\ell 在两圆之间，即 EE 不可能落在 F,PF, P 之间，因此我们不能直接利用三角不等式。为此我们需要作 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 关于直线 y=x−2y = x - 2 的对称圆，把 ∣PE∣|PE| 转化到与 ∣PF∣|PF| 同侧，然后再利用三角不等式。

🔑 查看解析与步骤

圆 (x−6)2+(y+2)2=9(x - 6)^2 +(y + 2)^2 = 9 的圆心为 A(6,−2)A(6, - 2) ，半径为3，圆 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 关于直线 y=x−2y = x - 2 的对称圆为圆 BB ，设圆心 BB 的坐标为 (m,n)(m,n) ，则 {nm=−1n2=m2−2\left\{ \begin{array}{l} \frac{n}{m} = -1 \\ \frac{n}{2} = \frac{m}{2} - 2 \end{array} \right. ，解得 {m=2n=−2\left\{ \begin{array}{l} m = 2 \\ n = -2 \end{array} \right. 故圆 BB 的圆心为 (2,−2)(2, - 2) ，半径为1．如图4-27所示，由于此时圆心 AA 与圆心 BB 的距离为4，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时 EE 的对称点为 E1E_{1} ，且 ∣PE∣=∣PE1∣|PE| = |PE_{1}| ，所以

图4-27

图4-28

∣PF∣−∣PE∣=∣PF∣−∣PE1∣,\left| P F \right| - \left| P E \right| = \left| P F \right| - \left| P E _ {1} \right|,

当 P,B,A,E1,FP, B, A, E_{1}, F 五点共线时，且 E1E_{1} 在圆 BB 的左侧，点 FF 在圆

A 的右侧时, ∣PF∣−∣PE∣|PF|-|PE| 最大, 如图 4-28 所示, 最大值为 ∣E1F∣=∣E1B∣+∣BA∣+∣AF∣=1+4+3=8|E_{1}F|=|E_{1}B|+|BA|+|AF|=1+4+3=8 , 故选 C.