4.2.1 一般方程与标准方程

💡 知识点 4.7

(1) 标准方程: $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} (r > 0)$ , 其中圆心为 $(a, b)$ , 半径为 $r$ .

(2) 一般方程: $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ , 当 $D^{2} + E^{2} - 4F > 0$ 时, 圆心为 $\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ , 半径为 $\frac{\sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$ .

求圆的标准方程或圆的一般方程, 我们常用的手段是待定系数法. 根据圆的标准方程和一般方程的特点, 用待定系数法求圆的方程我们需要三个条件.

✍️ 例 4.17

过四点 $(0,0)$ , $(4,0)$ , $(-1,1)$ , $(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 ____.

🔑 查看解析与步骤

设过 $(0,0), (4,0), (-1,1)$ 三点的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$ ，分别将三点坐标代入方程得

$$\left\{ \begin{array}{l l} F = 0 \\ 1 6 + 4 D + F = 0 \\ 2 - D + E + F = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l l} D = - 4 \\ E = - 6 \\ F = 0 \end{array} \right.$$

易得 $D^2 + E^2 - 4F > 0$ , 所以过 $(0,0), (4,0), (-1,1)$ 三点的圆的方程为 $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ .

同理, 得到过 $(0,0)$ , $(4,0)$ , $(4,2)$ 三点的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 4x - 2y = 0$ ; 过 $(0,0)$ , $(-1,1)$ , $(4,2)$ 三点的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{14}{3} y = 0$ ; 过 $(4,0)$ , $(-1,1)$ , $(4,2)$ 三点的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - \frac{16}{5} x - 2y - \frac{16}{5} = 0$ .

用待定系数法求圆的方程有时运算量过大, 此时我们可以考虑结合垂径定理及其推论求圆的方程.

💡 知识点 4.8

(1) 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧.

(2) 垂径定理推论: ① 平分弦的直径垂直于弦; ② 弦的垂直平分线过圆心.

✍️ 例 4.18

设点 M 在直线 $2x + y - 1 = 0$ 上, 点 (3,0) 和 (0,1) 均在圆 M 上, 则圆 M 的方程为 ____.

🧠 思路分析

由于点(3,0)和(0,1)均在圆 $M$ 上, 则圆 $M$ 的圆心必然在这两点确定的线段的垂直平分线上, 求出垂直平分线, 再与 $2x + y - 1 = 0$ 联立, 即可求出圆心坐标, 进而求出圆的半径.

🔑 查看解析与步骤

设 $A(3,0), B(0,1)$ ，则 $AB$ 的中点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，直线 $AB$ 的斜率为 $k_{AB} = -\frac{1}{3}$ ，于是线段 $AB$ 的垂直平分线 $\ell$ 的斜率为 $k_{\ell} = 3$ 。由点斜式可得直线 $\ell$ 方程为 $y - \frac{1}{2} = 3\left(x - \frac{3}{2}\right)$ ，即 $y = 3x - 4$ 。由 $\left\{ \begin{array}{l} y = 3x - 4 \\ 2x + y - 1 = 0 \end{array} \right.$ ，可得 $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = -1 \end{array} \right.$ ，即圆心 $M$ 的坐标为 $(1, -1)$ 。设圆 $M$ 的半径为 $r$ ，则 $r^2 = (3 - 1)^2 + 1^2 = 5$ ，因此圆 $M$ 的方程为 $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$ 。故填 $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5$ 。

🎯 变式 4.18.1

（2016 浙江文 10）已知 $a \in R$ ，方程 $a^{2}x^{2} + (a + 2)y^{2} + 4x + 8y + 5a = 0$ 表示圆，则圆心坐标是 ____，半径是 ____。