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1.1.5 辅助角公式

“辅助角公式”又称“化一公式”，其主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数，以此来求解有关最值和周期等的问题.

在高考数学范围内, 辅助角公式的作用是将含有正弦、余弦两种三角函数的表达式合并为只含有一种三角函数的表达式, 其形式如下所示:

📦 辅助角公式

asin⁡x±bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x±φ)(a,b>0)a\sin x\pm b\cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x\pm\varphi)(a,b>0) ，这里 φ\varphi 是锐角且 tan⁡φ=ba\tan\varphi=\frac{b}{a} .

为简洁起见, 我们只给出 asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x 的推导, 另外一种情形, 请同学们自己完成.

📦 推导过程

因为 asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2(aa2+b2sin⁡x+ba2+b2cos⁡x)a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x \right) ，注意到 (aa2+b2)2+(ba2+b2)2=1\left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 + \left( \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right)^2 = 1 ，故存在 φ\varphi ，使得 cos⁡φ=aa2+b2\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} ， sin⁡φ=ba2+b2\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} ，所以

asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2(cos⁡φsin⁡x+sin⁡φcos⁡x)=a2+b2sin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = \sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} (\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x) = \sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} \sin (x + \varphi)

这里 φ\varphi 满足 tan⁡φ=sin⁡φcos⁡φ=ba\tan \varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{b}{a}

✍️ 例 1.14

(2020 全国Ⅲ文 5) 已知 sin⁡α+sin⁡(α+π3)=1\sin\alpha+\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=1 ，则 sin⁡(α+π6)=()\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=(\quad) .

A. 12\frac{1}{2} B. 33\frac{\sqrt{3}}{3} C. 23\frac{2}{3} D. 22\frac{\sqrt{2}}{2}

🔑 查看解析与步骤

将 sin⁡α+sin⁡(α+π3)=1\sin \alpha + \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{3} \right) = 1 展开可得 sin⁡α+sin⁡αcos⁡π3+cos⁡αsin⁡π3=1\sin \alpha + \sin \alpha \cos \frac{\pi}{3} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{3} = 1 , 即 32sin⁡α+32cos⁡α=1\frac{3}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = 1 , 由辅助角公式可得 3sin⁡(α+π6)=1\sqrt{3} \sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = 1 , 即 sin⁡(α+π6)=33\sin \left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} , 故选 B.

我们不仅要记住这个辅助角公式, 还需要观察角度的变化, 当角度比较多的时候, 把一些角看成一个整体, 是非常有必要的, 比如下面这个例子.

✍️ 例 1.15

(2022 新高考 II 6) 角 α,β\alpha, \beta 满足 sin⁡(α+β)+cos⁡(α+β)=22cos⁡(α+π4)sin⁡β,\sin (\alpha + \beta) + \cos (\alpha + \beta) = 2\sqrt{2}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\sin \beta, 则 ( ).

A. tan⁡(α+β)=1\tan (\alpha + \beta) = 1 B. tan⁡(α+β)=−1\tan (\alpha + \beta) = -1 C. tan⁡(α−β)=1\tan (\alpha - \beta) = 1 D. tan⁡(α−β)=−1\tan (\alpha - \beta) = -1

🔑 查看解析与步骤

由辅助角公式可得 2sin⁡(α+β+π4)=22cos⁡(α+π4)sin⁡β,\sqrt{2}\sin \left(\alpha +\beta +\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{2}\cos \left(\alpha +\frac{\pi}{4}\right)\sin \beta , 将 α+π4\alpha +\frac{\pi}{4} 看成一个整体，利用两角和正弦公式可得

sin⁡(α+π4)cos⁡β+cos⁡(α+π4)sin⁡β=2cos⁡(α+π4)sin⁡β.\sin \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right) \cos \beta + \cos \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right) \sin \beta = 2 \cos \left(\alpha + \frac {\pi}{4}\right) \sin \beta .

等式两边同时除以 cos⁡(α+π4)cos⁡β\cos \left(\alpha +\frac{\pi}{4}\right)\cos \beta ，可得 tan⁡(α+π4)=tan⁡β\tan \left(\alpha +\frac{\pi}{4}\right) = \tan \beta ，所以 α+π4=β+kπ,k∈Z,\alpha +\frac{\pi}{4} = \beta +k\pi ,k\in \mathbb{Z}, 即 α−β=−π4+kπ,k∈Z,\alpha -\beta = -\frac{\pi}{4} +k\pi ,k\in \mathbb{Z}, 从而 tan⁡(α−β)=tan⁡(−π4)=−1,\tan (\alpha -\beta) = \tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1, 故选D.

🎯 变式 1.15.1

（2022 浙江 13）若 3sin⁡α−sin⁡β=10,α+β=π23\sin\alpha - \sin\beta = \sqrt{10}, \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} ，则 sin⁡α=\sin\alpha = ____ .

辅助角公式的作用是非常大的, 是把两个不同名的三角函数化成同一三角函数的重要手段. 而给角求值问题更是把辅助角公式的应用进一步进行了升华. 下面通过例子来说明:

✍️ 例 1.16

cos⁡10∘(1+3tan⁡10∘)cos⁡50∘=‾.\frac{\cos 10^{\circ}(1 + \sqrt{3}\tan 10^{\circ})}{\cos 50^{\circ}} = \underline{\quad}.

🔑 查看解析与步骤

cos⁡10∘(1+3tan⁡10∘)cos⁡50∘=cos⁡10∘+3sin⁡10∘cos⁡50∘=2sin⁡(10∘+30∘)cos⁡50∘=2sin⁡40∘sin⁡40∘=2.\frac{\cos 10^{\circ}(1 + \sqrt{3} \tan 10^{\circ})}{\cos 50^{\circ}} = \frac{\cos 10^{\circ} + \sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\cos 50^{\circ}} = \frac{2 \sin(10^{\circ} + 30^{\circ})}{\cos 50^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 2.

给角求值问题一般给出的角都是非特殊角, 要观察所给角与特殊角间的关系, 利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题, 另外此类问题也常利用代数变形, 比如下面这个例子就需要根据三角函数公式来进行代数变形.

✍️ 例 1.17

（2022 苏州模考）已知 msin⁡20∘+tan⁡20∘=3m \sin 20^{\circ} + \tan 20^{\circ} = \sqrt{3} ，则 m=()m = (\quad) .

A. 3\sqrt{3} B. 22 C. 44 D. 88

🔑 查看解析与步骤

要求 m 的值, 需先分离出 m, 即 m=3−tan⁡20∘sin⁡20∘m = \frac{\sqrt{3} - \tan 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} . 分式中既含有正切又含有正弦, 因此考虑切化弦, 即

m=3−sin⁡20∘cos⁡20∘sin⁡20∘=3cos⁡20∘−sin⁡20∘sin⁡20∘cos⁡20∘=−sin⁡20∘−3cos⁡20∘sin⁡20∘cos⁡20∘=−2sin⁡(20∘−60∘)12sin⁡40∘=4.m = \frac {\sqrt {3} - \frac {\sin 2 0 ^ {\circ}}{\cos 2 0 ^ {\circ}}}{\sin 2 0 ^ {\circ}} = \frac {\sqrt {3} \cos 2 0 ^ {\circ} - \sin 2 0 ^ {\circ}}{\sin 2 0 ^ {\circ} \cos 2 0 ^ {\circ}} = - \frac {\sin 2 0 ^ {\circ} - \sqrt {3} \cos 2 0 ^ {\circ}}{\sin 2 0 ^ {\circ} \cos 2 0 ^ {\circ}} = - \frac {2 \sin (2 0 ^ {\circ} - 6 0 ^ {\circ})}{\frac {1}{2} \sin 4 0 ^ {\circ}} = 4.

故选 C.

给角求值问题我们需要利用辅助角公式来合角。但有时候需要拆角，即一个角拆分成两个角，那么拆角是不是随意拆分呢？当然不是，拆角必须跟已知角有直接的关联。

✍️ 例 1.18

(2013 重庆理 9) 4cos⁡50∘−tan⁡40∘=()4 \cos 50^{\circ} - \tan 40^{\circ} = (\quad) .

A. 2\sqrt{2} B. 2+32\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2} C. 3\sqrt{3} D. 22−12\sqrt{2}-1

🔑 查看解析与步骤

式 4cos⁡50∘−tan⁡40∘4\cos 50^{\circ} - \tan 40^{\circ} 中含有弦与切, 弦切互化, 异名化同名, 异角化同角, 这是处理恒等变形最先考虑的. 本例题一开始就是切化弦, 即 4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4cos⁡50∘cos⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘4\cos 50^{\circ} - \tan 40^{\circ} = \frac{4\cos 50^{\circ}\cos 40^{\circ} - \sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}} . 因为 cos⁡50∘=sin⁡40∘\cos 50^{\circ} = \sin 40^{\circ} , 所以

4cos⁡50∘−tan⁡40∘=4sin⁡40∘cos⁡40∘−sin⁡40∘cos⁡40∘=2sin⁡80∘−sin⁡40∘cos⁡40∘.4 \cos 5 0 ^ {\circ} - \tan 4 0 ^ {\circ} = \frac {4 \sin 4 0 ^ {\circ} \cos 4 0 ^ {\circ} - \sin 4 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}} = \frac {2 \sin 8 0 ^ {\circ} - \sin 4 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}}.

分子中的 2sin⁡80∘−sin⁡40∘2\sin 80^{\circ} - \sin 40^{\circ} 无法直接用辅助角公式, 否则不能消去分母. 故考虑把 80∘80^{\circ} 与 40∘40^{\circ} 进行拆分, 考虑 80∘=60∘+20∘,40∘=60∘−20∘80^{\circ} = 60^{\circ} + 20^{\circ}, 40^{\circ} = 60^{\circ} - 20^{\circ} , 于是

4cos⁡50∘−tan⁡40∘=2sin⁡(60∘+20∘)−sin⁡(60∘−20∘)cos⁡40∘=32sin⁡20∘+32cos⁡20∘cos⁡40∘=3sin⁡50∘cos⁡40∘=3cos⁡40∘cos⁡40∘=3.\begin{array}{r l} 4 \cos 5 0 ^ {\circ} - \tan 4 0 ^ {\circ} & = \frac {2 \sin (6 0 ^ {\circ} + 2 0 ^ {\circ}) - \sin (6 0 ^ {\circ} - 2 0 ^ {\circ})}{\cos 4 0 ^ {\circ}} \\ & = \frac {\frac {3}{2} \sin 2 0 ^ {\circ} + \frac {\sqrt {3}}{2} \cos 2 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}} = \frac {\sqrt {3} \sin 5 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}} = \frac {\sqrt {3} \cos 4 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}} = \sqrt {3}. \end{array}

故选C.

📌 标注说明

我们一定要把 80∘80^{\circ} 拆分成 60∘60^{\circ} 与 20∘20^{\circ} 之和吗？当然不是，我们还可以把 80∘80^{\circ} 写成 80∘=50∘+30∘80^{\circ} = 50^{\circ} + 30^{\circ} ，那么此时 40∘40^{\circ} 需要拆开吗？不需要，因为 40∘40^{\circ} 与 50∘50^{\circ} 是互余的，所以

4cos⁡50∘−tan⁡40∘=2sin⁡(50∘+30∘)−sin⁡40∘cos⁡40∘=3sin⁡50∘+cos⁡50∘−sin⁡40∘cos⁡40∘=3sin⁡50∘cos⁡40∘=3.\begin{array}{r l} 4 \cos 5 0 ^ {\circ} - \tan 4 0 ^ {\circ} & = \frac {2 \sin (5 0 ^ {\circ} + 3 0 ^ {\circ}) - \sin 4 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}} \\ & = \frac {\sqrt {3} \sin 5 0 ^ {\circ} + \cos 5 0 ^ {\circ} - \sin 4 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}} = \frac {\sqrt {3} \sin 5 0 ^ {\circ}}{\cos 4 0 ^ {\circ}} = \sqrt {3}. \end{array}
🎯 变式 1.18.1

(2023 湖北模考) 若 sin⁡10∘=(3tan⁡10∘−1)sin⁡(α−20∘)\sin10^{\circ}=(\sqrt{3}\tan10^{\circ}-1)\sin(\alpha-20^{\circ}) ，则 sin⁡(2α+50∘)=\sin(2\alpha+50^{\circ})= ( ).

A. 18\frac{1}{8} B. −18-\frac{1}{8} C. −78-\frac{7}{8} D. 78\frac{7}{8}