Skip to content
MinerU + Astro

5. 阿波罗尼斯圆

前面我们介绍了多种基于圆的轨迹的题型, 它们的重要性毋庸赘述, 下面我们继续介绍圆的轨迹方程, 先来看看教材中的一个习题.

✍️ 例 4.28

已知动点 M 与两个定点 O(0,0)O(0,0) , A(3,0)A(3,0) 的距离的比为 12\frac{1}{2} ，求动点 M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

🔑 解析

如图4-7所示, 设点 MM 的坐标为 (x,y)(x, y) , 根据题设有 ∣MO∣∣MA∣=12\frac{|MO|}{|MA|} = \frac{1}{2} , 则

x2+y2(x−3)2+y2=12⇒x2+y2+2x−3=0⇒(x+1)2+y2=4.\frac {\sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}{\sqrt {(x - 3) ^ {2} + y ^ {2}}} = \frac {1}{2} \Rightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + 2 x - 3 = 0 \Rightarrow (x + 1) ^ {2} + y ^ {2} = 4.

所以点 MM 的轨迹是圆心为 (−1,0)(-1,0) , 半径为 2 的圆.


图4-7

由例 4.28 可知平面内到两个定点的距离之比为常数 (常数大于 0, 且不等于 1) 的点的轨迹都为圆, 且该类圆还有一个名字叫阿波罗尼斯圆 (简称阿氏圆).

💡 知识点 4.12

在平面直角坐标系中, 到两个定点的距离之比为常数 λ(λ>0\lambda (\lambda > 0 且 λ≠1)\lambda \neq 1) 的点的轨迹为圆, 以这种方式定义的圆叫作 “阿波罗尼斯圆” (简称阿氏圆).

🔑 解析

设 CC 到两个定点 A,BA, B 的距离之比为 λ(λ>0\lambda (\lambda > 0 且 λ≠1)\lambda \neq 1) , 以线段 ABAB 所在直线为 xx 轴, 线段 ABAB 的中垂线为 yy 轴, 建立平面直角坐标系. 设定点 A(−m,0),B(m,0),C(x,y)A(-m,0), B(m,0), C(x,y) , 由 ∣CA∣∣CB∣=λ\frac{|CA|}{|CB|} = \lambda , 可得 (x−m)2+y2(x+m)2+y2=λ\frac{\sqrt{(x - m)^2 + y^2}}{\sqrt{(x + m)^2 + y^2}} = \lambda , 化简整理可得

(1−λ2)x2+(1−λ2)y2+2m(λ2+1)x+m2(1−λ2)=0.(1 - \lambda^ {2}) x ^ {2} + (1 - \lambda^ {2}) y ^ {2} + 2 m (\lambda^ {2} + 1) x + m ^ {2} (1 - \lambda^ {2}) = 0.

因为 λ>0\lambda > 0 且 λ≠1\lambda \neq 1 , 配方得

(x−λ2+1λ2−1⋅m)2+y2=(λλ2−1⋅2m)2\left(x - \frac {\lambda^ {2} + 1}{\lambda^ {2} - 1} \cdot m\right) ^ {2} + y ^ {2} = \left(\frac {\lambda}{\lambda^ {2} - 1} \cdot 2 m\right) ^ {2}

所以点 CC 的轨迹是以 (λ2+1λ2−1⋅m,0)\left(\frac{\lambda^2 + 1}{\lambda^2 - 1} \cdot m, 0\right) 为圆心，半径为 ∣λλ2−1⋅2m∣\left|\frac{\lambda}{\lambda^2 - 1} \cdot 2m\right| 的圆.

📌 标注说明

实际问题中所给两点未必关于坐标轴对称, 因此只需掌握最基本的推导计算, 不要去记忆这个圆的圆心与半径. 只要记住 “到两个定点的距离之比为常数的点的轨迹为圆” 就可以了.

✍️ 例 4.29

(2022 浙江统考) 正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中, M 是棱 CC1CC_{1} 的中点, P 是底面 ABCD 内一动点, 且 A1PA_{1}P , MP 与底面 ABD 所成角相等, 则动点 P 的轨迹为 ( ).

A. 圆的一部分 B. 直线的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 双曲线的一部分

🔑 解析

正方体如图4-8所示, 连接 PA,PCPA, PC , 由 A1A⊥A_{1}A \perp 底面 ABCD,C1C⊥ABCD, C_{1}C \perp 底面 ABCDABCD , 可得 ∠A1PA,∠MPC\angle A_{1}PA, \angle MPC 分别为直线 A1P,MPA_{1}P, MP 与底面 ABCDABCD 所成的角, 因此 ∠A1PA=∠MPC\angle A_{1}PA = \angle MPC , 又因为 ∠A1AP=∠MCP=90∘\angle A_{1}AP = \angle MCP = 90^{\circ} , 所以 Rt△ A1AP∼A_{1}AP \sim Rt△ MCPMCP , 可得 PAPC=A1AMC=2\frac{PA}{PC} = \frac{A_{1}A}{MC} = 2 , 所以 PA=2PCPA = 2PC , 满足阿波罗尼斯圆的定义, 故选 A.


图4-8

以上例题都是按照阿波罗尼斯圆的定义形式来命题的, 由 ∣MA∣=λ∣MB∣(λ>0|MA| = \lambda |MB| (\lambda > 0 且 λ≠1)\lambda \neq 1) 就可以判断出点 MM 的轨迹为圆, 但我们必须提醒读者, 很多情况下命题者会反其道而行之, 就是逆用阿氏圆.

✍️ 例 4.30

(2015 湖北理 17) 如图 4-9 所示, 圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0)T(1,0) , 与 y 轴正半轴交于两点 A, B (点 B 在点 A 的上方), 且 ∣AB∣=2|AB| = 2 .

(I) 圆 C 的标准方程为 ____；

(Ⅱ) 过点 AA 任作一条直线与圆 O:x2+y2=1O: x^2 + y^2 = 1 相交于 M,NM, N 两点, 下列三个结论:

图4-9

(1) ∣NA∣∣NB∣=∣MA∣∣MB∣\frac{|NA|}{|NB|} = \frac{|MA|}{|MB|} ; (2) ∣NB∣∣NA∣−∣MA∣∣MB∣=2\frac{|NB|}{|NA|} - \frac{|MA|}{|MB|} = 2 ; (3) ∣NB∣∣NA∣+∣MA∣∣MB∣=22\frac{|NB|}{|NA|} + \frac{|MA|}{|MB|} = 2\sqrt{2} .

其中正确结论的序号是____。(写出所有正确结论的序号)

🔑 解析

(I) 根据题意, 可设圆心为 C(1,r)C(1, r) , 已知 ∣AB∣=2|AB| = 2 , 可得 r=2r = \sqrt{2} , 则圆 CC 的方程为 (x−1)2+(y−2)2=2(x - 1)^2 + (y - \sqrt{2})^2 = 2 .

(II) 由题意可知, 若能分别求出 ∣NA∣∣NB∣\frac{|NA|}{|NB|} 和 ∣MA∣∣MB∣\frac{|MA|}{|MB|} , 则可以顺利解答此题. 联想到阿波罗尼斯圆, 可以猜测它们应该是定值. 在圆 C:(x−1)2+(y−2)2=2C: (x - 1)^2 + (y - \sqrt{2})^2 = 2 中, 令 x=0x = 0 , 解得 A(0,2−1),B(0,2+1)A(0, \sqrt{2} - 1), B(0, \sqrt{2} + 1) , 设 N(x,y)N(x, y) , 则

∣NA∣2∣NB∣2=x2+[y−(2−1)]2x2+[y−(2+1)]2=x2+y2−2(2−1)y+(2−1)2x2+y2−2(2+1)y+(2+1)2.\frac {| N A | ^ {2}}{| N B | ^ {2}} = \frac {x ^ {2} + [ y - (\sqrt {2} - 1) ] ^ {2}}{x ^ {2} + [ y - (\sqrt {2} + 1) ] ^ {2}} = \frac {x ^ {2} + y ^ {2} - 2 (\sqrt {2} - 1) y + (\sqrt {2} - 1) ^ {2}}{x ^ {2} + y ^ {2} - 2 (\sqrt {2} + 1) y + (\sqrt {2} + 1) ^ {2}}.

利用 x2+y2=1x^{2} + y^{2} = 1 ，并整理可得

∣NA∣2∣NB∣2=4−22−2(2−1)y4+22−2(2+1)y=(2−1)(22−2y)(2+1)(22−2y)=2−12+1=(2−1)2.\frac {| N A | ^ {2}}{| N B | ^ {2}} = \frac {4 - 2 \sqrt {2} - 2 (\sqrt {2} - 1) y}{4 + 2 \sqrt {2} - 2 (\sqrt {2} + 1) y} = \frac {(\sqrt {2} - 1) (2 \sqrt {2} - 2 y)}{(\sqrt {2} + 1) (2 \sqrt {2} - 2 y)} = \frac {\sqrt {2} - 1}{\sqrt {2} + 1} = (\sqrt {2} - 1) ^ {2}.

因此 ∣NA∣∣NB∣=2−1\frac{|NA|}{|NB|} = \sqrt{2} - 1 , 由 NN 的任意性可得 ∣MA∣∣MB∣=2−1\frac{|MA|}{|MB|} = \sqrt{2} - 1 . 从而可以轻松判断 (1) (2) (3) 都正确, 故填 (1)(2)(3).

🎯 变式 4.30.1

（2014 湖北文 17）已知圆 O:x2+y2=1O: x^{2} + y^{2} = 1 和点 A(−2,0)A(-2,0) ，若定点 B(b,0)(b≠−2)B(b,0)(b \neq -2) 和常数 λ\lambda 满足：对圆 O 上任意一点 M，都有 ∣MB∣=λ∣MA∣|MB| = \lambda |MA| ，则 b = ____， λ=\lambda = ____ .