78 4.2.2 参数方程

以点 $(a, b)$ 为圆心, $r$ 为半径的圆的标准方程为 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ , 两边同时除以 $r^2$ , 得 $\left(\frac{x - a}{r}\right)^2 + \left(\frac{y - b}{r}\right)^2 = 1$ , 分别令 $\frac{x - a}{r} = \cos \theta$ , $\frac{y - b}{r} = \sin \theta$ , 我们得到圆的参数方程.

💡 知识点 4.9

以 $(a,b)$ 为圆心, r 为半径的圆的参数方程为 $\left\{\begin{aligned}x&=a+r\cos\theta\\ y&=b+r\sin\theta\end{aligned}\right.$ , 其中 $\theta$ 为参数,且 $\theta\in[0,2\pi)$ , 参数 $\theta$ 的几何意义是圆上动点和圆心连线的旋转角.

✍️ 例 4.19

(2021 全国乙 22) 在直角坐标系 xOy 中, $\odot C$ 的圆心为 $C(2,1)$ , 半径为 1. 写出 $\odot C$ 的一个参数方程.

🔑 查看解析与步骤

因为圆心为(2,1)，半径为1，故圆 $C$ 参数方程为 $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \cos \theta \\ y = 1 + \sin \theta \end{array} \right.$ ，其中 $\theta$ 为参数.

圆的参数方程有什么用呢？最大的作用是求最值，利用参数方程，我们可以将圆上的任意一点表示为 $(a + r\cos \theta, b + r\sin \theta)$ ，然后将问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有界性求最值，请看下面的例题：

✍️ 例 4.20

（2023 全国乙文 11）已知实数 x, y 满足 $x^{2} + y^{2} - 4x - 2y - 4 = 0$ ，则 x - y 的最大值是（）.

A. $1 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$ B.4 C. $1 + 3\sqrt{2}$ D.7

🔑 查看解析与步骤

圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ ，故参数方程为 $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3\cos \theta \\ y = 1 + 3\sin \theta \end{array} \right.$ （其中 $\theta$ 为参数），于是 $x - y = 3\cos \theta - 3\sin \theta + 1 = 3\sqrt{2}\cos \left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) + 1 \leqslant 3\sqrt{2} + 1.$

当 $\cos \left(\theta +\frac{\pi}{4}\right) = 1$ ，即 $\theta +\frac{\pi}{4} = 2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 时取得最大值，故选C.

🎯 变式 4.20.1

(2023 湖南模拟) 若点 $A(m,n)$ 在圆 $C: x^{2} + y^{2} - 2x - 8y + 1 = 0$ 上, 则 $\frac{n}{m+4}$ 的取值范围为 ( ).

A. $\left[0, \frac{35}{9}\right]$ B. $\left[0, \frac{40}{9}\right]$ C. [0,4]

D. $\left(-\infty, \frac{35}{9}\right]$