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4.3.5 圆幂定理

接下来介绍圆的另外一个性质——圆幂定理, 这个性质不少读者并不熟悉. 这类题在解析几何中考查的难度不会小 (尤其是在圆锥曲线中考查圆幂定理, 例如四点共圆情形). 圆幂定理又分为三个定理, 分别是相交弦定理、切割线定理和割线定理, 总结如下:

✍️ 例 4.46

(2015 天津理 5) 如图 4-17 所示, 在圆 O 中, M, N 是弦 AB 的三等分点, 弦 CD, CE 分别经过点 M, N, 若 CM = 2, MD = 4, CN = 3, 则线段 NE 的长为 ( ).

A. 83\frac{8}{3} B. 3 C. 103\frac{10}{3} D. 52\frac{5}{2}

🔑 查看解析与步骤

由相交弦定理可得 MC⋅MD=MA⋅MB,NC⋅NE=NA⋅NB,MC \cdot MD = MA \cdot MB, NC \cdot NE = NA \cdot NB, 又因为 M, N 是弦 AB 的三等分点，所以 NA⋅NB=MA⋅MB=MC⋅MD,NA \cdot NB = MA \cdot MB = MC \cdot MD, 从而 NC⋅NE=MC⋅MD,NC \cdot NE = MC \cdot MD, 即 NE=MC⋅MDNC=83.NE = \frac{MC \cdot MD}{NC} = \frac{8}{3}. 故选 A.

图4-17

🎯 变式 4.46.1

过点 P(−4,4)P(-4,4) 作直线 ℓ\ell 与圆 C:(x−1)2+y2=25C:(x-1)^{2}+y^{2}=25 交于 A, B 两点, 若 ∣PA∣=2|PA|=2 , 则圆心 C 到直线 ℓ\ell 的距离为 ( ) . A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

圆幂定理的应用是非常广泛的, 下面再来看看它在仰角模型中的应用.

✍️ 例 4.47

如图 4-18 所示, 在平面直角坐标系中, 在 y 轴的正半轴 (坐标原点除外) 上给定两点 A, B, 试在 x 轴的正半轴 (坐标原点除外) 上找一点 C, 使得 ∠ACB\angle ACB 取得最大值.

🔑 查看解析与步骤

如图4-19所示, 设点 A(0,a),B(0,b),C(x,0)A(0, a), B(0, b), C(x, 0) , 过 A,B,CA, B, C 三点确定圆 EE . 作弦 ABAB 所对的圆心角 ∠AEB=2∠ACB\angle AEB = 2\angle ACB . 取 ABAB 中点 DD , 连接 DEDE , 则 ∠AEB=2∠AED\angle AEB = 2\angle AED , 于是 ∠AED=∠ACB\angle AED = \angle ACB . 又因为 sin⁡∠AED=∣AD∣∣AE∣=∣AD∣∣EC∣\sin \angle AED = \frac{|AD|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|EC|} , 所以 ∣EC∣|EC| 越小, ∠AED\angle AED 越大, 而当 EC⊥xEC \perp x 轴时, ∣EC∣|EC| 最小, 此时 ∠ACB\angle ACB 最大, 圆与 xx 轴相切, CC 为切点, 如图4-20所示. 由切割线定理有 ∣OC∣2=∣OA∣⋅∣OB∣|OC|^2 = |OA| \cdot |OB| , 即 x2=abx^2 = ab , 解得 x=abx = \sqrt{ab} . 故切点 CC 的坐标为 (ab,0)(\sqrt{ab}, 0) .


图4-18


图4-19


图4-20

🛠️ 方法总结 4.3

给定平面上两定点 A, B, 求直线 ℓ\ell 上的一点 C, 使得 ∠ACB\angle ACB 取得最大值. 这类模型可以转化为 “以 AB 为定弦的圆与直线 ℓ\ell 有交点, 求点 C 与弦 AB 的张角的最大值, 即圆与直线 ℓ\ell 相切时 ∠ACB\angle ACB 取得最大值”.