4.3.4 切线与切点弦

💡 知识点 4.21

过圆 $O:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 上一点 $P(x_{0},y_{0})$ 作圆的切线，则切线方程为 $(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$ .

📦 证明

设点 $P(x_0, y_0)$ , $M(x, y)$ , 由于 $PM$ 为圆的切线, 所以 $\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{OP} = 0$ , 由此可得 $x(x_0 - a) + y(y_0 - b) = x_0^2 - ax_0 + y_0^2 - by_0$ . 利用 $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$ 化简可得 $(x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = r^2$ .

什么时候用知识点4.21来求切线方程呢？顾名思义，在知道圆上的切点时，求切线方程用知识点4.21最简单.

✍️ 例 4.44

（2023 天津模拟）已知圆 C 的圆心坐标是 $(0, m)$ ，半径长是 r。若直线 $2x - y + 3 = 0$ 与圆 C 相切于点 $A(-2, -1)$ ，则 m = ____；r = ____.

🔑 查看解析与步骤

设圆 C 的方程为 $x^{2}+(y-m)^{2}=r^{2}$ . 因为直线与圆 C 相切于 $A(-2,-1)$ ，则切线方程为 $-2x+(-1-m)(y-m)=r^{2}$ ，整理得 $2x+(1+m)y+m(-1-m)+r^{2}=0$ 。又因为切线方程为 $2x-y+3=0$ ，所以 $\left\{\begin{aligned}&1+m=-1\\ &m(-1-m)+r^{2}=3\end{aligned}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{aligned}&m=-2\\ &r=\sqrt{5}\end{aligned}\right.$ 。故填 -2; $\sqrt{5}$ .

💡 知识点 4.22

过圆 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 外一点 $P(x_{0},y_{0})$ 作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为 $(x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}$ .

📦 证明

设两切点为 $A(x_{1},y_{1}), B(x_{2},y_{2})$ ，则切线 $PA:(x_{1} - a)(x - a) + (y_{1} - b)(y - b) = r^{2}$ ，切线 $PB:(x_{2} - a)(x - a) + (y_{2} - b)(y - b) = r^{2}$ 。因为 $P(x_0,y_0)$ 同时在直线 $PA$ 和直线 $PB$ 上，所以将 $P(x_0,y_0)$ 代入两条直线得 $\left\{ \begin{array}{l}(x_1 - a)(x_0 - a) + (y_1 - b)(y_0 - b) = r^2\\ (x_2 - a)(x_0 - a) + (y_2 - b)(y_0 - b) = r^2 \end{array} \right.$ ，由此可知 $A,B$ 在直线 $(x - a)(x_0 - a) + (y - b)(y_0 - b) = r^2$ 上，即直线 $AB$ 的方程为 $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$ 。

✍️ 例 4.45

(2013 山东理 9) 过点 $P(3,1)$ 作圆 $C:(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 的两条切线, 切点为 A, B, 则直线 AB 的方程为 ( ).
A. $2x+y-3=0$ B. $2x-y-3=0$ C. $4x-y-3=0$ D. $4x+y-3=0$

🔑 查看解析与步骤

由知识点4.21可知直线 $AB$ 的方程为 $(x - 1)(3 - 1) + y = 1$ ，即 $2x + y - 3 = 0$ . 故选A.

🎯 变式 4.45.1

已知圆 $C: x^2 + y^2 = 4$ ，点 $P$ 为直线 $x + 2y - 9 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 引两条切线 $PA, PB, A, B$ 为切点，则直线 $AB$ 经过定点（ ）.

A. $\left(\frac{4}{9}, \frac{8}{9}\right)$ B. $\left(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}\right)$ C. (2,0)

D. (9,0)