3. 数量积圆

我们知道 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = 0$ , 且 $A, B$ 是定点, 则 $P$ 的轨迹是以 $AB$ 为直径的圆, 现在的问题是如果 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = \lambda$ , 那么点 $P$ 的轨迹还是圆吗? 请看下面的例题:

✍️ 例 4.26

(2020 全国Ⅲ文 6) 在平面内, A, B 是两个定点, C 是动点. 若 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 1$ , 则点 C 的轨迹为 ( ). A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线

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设线段 $AB$ 的中点为 $O$ , 长为 $2a(a > 0)$ , 以点 $O$ 为原点, 线段 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系, 则 $A(-a,0), B(a,0)$ . 设点 $C$ 的坐标为 $(x,y)$ , 则 $\overrightarrow{AC} = (x + a,y), \overrightarrow{BC} = (x - a,y)$ , 由 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = 1$ 得 $(x + a)(x - a) + y^2 = 1$ , 化简可得 $x^2 + y^2 = 1 + a^2$ , 所以点 $C$ 的轨迹为以 $O$ 为圆心, $\sqrt{1 + a^2}$ 为半径的圆, 故选 A.

类比例 4.26, 设 A, B 为定点, 长为 $2a(a > 0)$ , 以 AB 的中点为原点, AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系, 若 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} = \lambda$ , 则 $C(x, y)$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} = \lambda + a^{2}$ . 故

(1) 当 $\lambda + a^2 > 0$ 时, $C$ 的轨迹是圆;

(2) 当 $\lambda + a^2 = 0$ 时, $C$ 的轨迹是点;

(3) 当 $\lambda + a^2 < 0, C$ 的轨迹不存在.

🎯 变式 4.26.1

在平面直角坐标系中, $A(-12,0)$ , $B(0,6)$ , 点 $P$ 在圆 $O: x^{2} + y^{2} = 50$ 上. 若 $\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \leqslant 20$ , 则点 $P$ 的横坐标的取值范围是 ____.