2. 点到线的距离

💡 知识点 4.5

点 $P(x_{0},y_{0})$ 到直线 $\ell:Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ .

✍️ 例 4.11

(2023 河北期中) 点 $A(\cos\theta, \sin\theta)$ 到直线 $3x + 4y - 4 = 0$ 距离的最大值为 ( )。 A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. 1 D. $\frac{9}{5}$

🔑 查看解析与步骤

点 $A(\cos\theta,\sin\theta)$ 到直线 $3x+4y-4=0$ 距离 $d=\frac{|3\cos\theta+4\sin\theta-4|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{|5\sin(\theta+\varphi)-4|}{5}$ ，其中 $\tan\varphi=\frac{3}{4}$ ，故由正弦函数的性质可得，当 $\sin(\theta+\varphi)=-1$ 时， $d_{\max}=\frac{9}{5}$ ，故选 D.

例 4.11 是动点到定直线的距离, 反过来, 我们再看看定点到动直线的距离.

✍️ 例 4.12

(2020 全国Ⅲ文8)点 $(0,-1)$ 到直线 $y=k(x+1)$ 距离的最大值为( ). A. 1 B. $\sqrt{2}$ C. $\sqrt{3}$ D. 2

🔑 解析1

点 $(0, - 1)$ 到直线 $y = k(x + 1)$ 的距离为

$$d = \frac {| 1 + k |}{\sqrt {k ^ {2} + 1}} = \sqrt {\frac {k ^ {2} + 2 k + 1}{k ^ {2} + 1}} = \sqrt {1 + \frac {2 k}{k ^ {2} + 1}} = \sqrt {1 + \frac {2}{k + \frac {1}{k}}}.$$

因为求距离的最大值, 所以需要 $k > 0$ , 由基本不等式 $k + \frac{1}{k} \geqslant 2$ , 当且仅当 $k = \frac{1}{k}$ , 即 $k = 1$ 时取等号, 得 $d \leqslant \sqrt{2}$ . 故选 B.

解析 1 是我们容易想到的方法, 我们再来看将点到线的距离转化为点到垂足的距离:

🔑 解析2

由 $y = k(x + 1)$ 可知直线过定点 $P(-1,0)$ ，设 $A(0, - 1)$ ，当直线 $y = k(x + 1)$ 与 $AP$ 垂直时，点 $A$ 到直线 $y = k(x + 1)$ 的距离最大，即为

$$\vert A P \vert = \sqrt {[ 0 - (- 1) ^ {2} ] + (- 1 - 0) ^ {2}} = \sqrt {2}.$$

故选 B.

比较例 4.12 的两种解析, 不难发现将定点到旋转动直线的距离, 转化为定点到旋转点的距离, 会使问题变得更简单. 还有一种情形, 求直线上动点与直线外定点距离的最值问题, 我们也需要转化, 请看下面的例题:

✍️ 例 4.13

(2023 安徽模考) 直线 $\ell:3x-2y+5=0, P(m,n)$ 为直线 $\ell$ 上动点，则 $(m+1)^{2}+n^{2}$ 的最小值为（）.

A. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$ B. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$ C. $\frac{4}{13}$ D. $\frac{3}{13}$

🔑 查看解析与步骤

$(m+1)^{2}+n^{2}$ 表示直线 $\ell:3x-2y+5=0$ 上的点 $P(m,n)$ 到点 $A(-1,0)$ 距离的平方，而点 $P(m,n)$ 到点 $A(-1,0)$ 距离的最小值，即为点 $A(-1,0)$ 到直线 $\ell$ 的距离 $\frac{|3\times(-1)-2\times0+5|}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}$ ，则 $(m+1)^{2}+n^{2}$ 的最小值为 $\frac{4}{13}$ ，故选 C.

上面三道例题是点到直线距离的最值问题的常见题型, 现总结如下:

📦 经验总结 4.2

(1) $P(x_{1}, y_{1})$ 是直线 $\ell$ 外定点, 直线 $\ell$ 恒过定点 $Q(x_{2}, y_{2})$ , 则 P 到直线 $\ell$ 的距离有最大值为 $|PQ|$ . (2) $P(x, y)$ 是直线 $\ell$ 上动点, $Q(x_{0}, y_{0})$ 是直线 $\ell$ 外定点, 则 $|PQ|$ 的最小值为 Q 到直线 $\ell$ 的距离.

🎯 变式 4.13.1

(2018 北京理 7) 在平面直角坐标系中, 记 d 为点 $P(\cos \theta, \sin \theta)$ 到直线 x-my-2=0 的距离, 当 $\theta, m$ 变化时, d 的最大值为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

🎯 变式 4.13.2

(2023 重庆模拟) 已知 x, y 满足 $x + y + 3 = 0$ ，则 $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2}$ 的最小值为 ____.