2. 相交与直线系

因为平面上的直线方程是用二元一次方程表示的, 故求两条直线的交点, 我们需要将两个二元一次方程联立, 解这个方程组, 比如下面的例题:

✍️ 例 4.7

已知直线 $\ell$ 经过两条直线 $2x - 3y + 10 = 0$ 和 $3x + 4y - 2 = 0$ 的交点，且垂直于直线 $3x - 2y + 4 = 0$ ，则直线 $\ell$ 的方程为 ____.

🔑 解析 1

两条直线的交点为 $\left\{\begin{aligned}&2x-3y+10=0\\ &3x+4y-2=0\end{aligned}\right.$ 的解, 解得 $\left\{\begin{aligned}x=-2\\ y=2\end{aligned}\right.$ , 又因为直线 $\ell$ 与直线 $3x-2y+4=0$ 垂直, 则可得 $k_{\ell}=-\frac{2}{3}$ . 根据直线的点斜式方程可得 $y-2=-\frac{2}{3}(x+2)$ , 则直线 $\ell$ 的方程为 $2x+3y-2=0$ , 故填 $2x+3y-2=0$ .

本题还可以通过直线系避免求交点, 什么叫直线系呢? 我们思考下面问题:

📦 思考

已知 $\lambda$ 为任意实数, 当 $\lambda$ 变化时, 方程 $2x - 3y + 10 + \lambda (3x + 4y - 2) = 0$ 表示什么图形? 图形有何特点?

由 $\left\{\begin{aligned}2x-3y+10=0\\ 3x+4y-2=0\end{aligned}\right.$ ，得 $\left\{\begin{aligned}x=-2\\ y=2\end{aligned}\right.$ ，故当 $\lambda$ 变化时，方程 $2x-3y+10+\lambda(3x+4y-2)=0$ 表示恒过点 $(-2,2)$ 的无数条直线。这无数条直线不包括 $3x + 4y - 2 = 0$ 。

根据直线系, 我们又得到例 4.7 的第二种解法:

🔑 解析2

经过两条直线的交点的方程为 $2x - 3y + 10 + \lambda (3x + 4y - 2) = 0$ ，整理可得

(2 + 3 \lambda) x + (4 \lambda - 3) y + 1 0 - 2 \lambda = 0.

因为此直线与 $3x - 2y + 4 = 0$ 垂直, 所以 $3(2 + 3\lambda) - 2(4\lambda - 3) = 0$ , 解得 $\lambda = -12$ , 代入上式得到所求方程为 $2x + 3y - 2 = 0$ , 故填 $2x + 3y - 2 = 0$ .

通过这个例子, 可知当题目涉及两条相交直线的交点时, 用定点直线系会使解题过程 “化繁为简”, 定点直线系的结论总结如下:

🎯 变式 4.7.1

经过两条直线 $2x + y - 8 = 0$ 和 $x - 2y + 1 = 0$ 的交点, 且平行于直线 4x - 3y - 7 = 0 的直线为 ____.

结论总结4.1中的 $\lambda$ 又称为“定点参”，我们可以通过消去定点参找到直线系恒过的定点，请看下面的例题：

✍️ 例 4.8

(2022 浙江模拟) 在平面直角坐标系 xOy 中, 设直线 $\ell$ 的方程为 $(2+a)x+(a-1)y-3a-3=0(a\in\mathbb{R})$ .

(I) 求证: 直线 $\ell$ 恒过一个定点 $P$ , 并求出定点 $P$ 的坐标;

(II) 若直线 $\ell$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴于 $A, B$ 两点， $S$ 表示 $\triangle AOB$ 的面积，求 $S$ 的最小值.

🔑 查看解析与步骤

(I) 直线 $\ell$ 整理为 $2x - y - 3 + a(x + y - 3) = 0$ , 由 $\left\{ \begin{array}{l} 2x - y - 3 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{array} \right.$ 可得 $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 \\ y = 1 \end{array} \right.$ 所以 $P$ 点坐标为 (2,1).

(Ⅱ) 设 $A(m,0), B(0,n)(m > 0,n > 0)$ , 则 $\ell$ 的截距式方程为 $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ , 由 (I) 可知直线 $\ell$ 恒过定点 $P(2,1)$ , 所以 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n} = 1$ , 于是

S = \frac {1}{2} m n = \frac {1}{\frac {2}{m} \cdot \frac {1}{n}} \geqslant \frac {1}{\left(\frac {\frac {2}{m} + \frac {1}{n}}{2}\right) ^ {2}} = \frac {1}{\frac {1}{4}} = 4,

当且仅当 $\frac{2}{m} = \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$ , 即 $m = 4, n = 2$ 时 $S$ 取到最小值.