1. 平行与垂直

在平面直角坐标系中, 两条直线平行, 倾斜角相等; 两条直线垂直, 倾斜角差的绝对值为 $90^{\circ}$ . 将倾斜角转成斜率, 我们得到以下知识点:

💡 知识点 4.3

设 $\ell_1:y = k_1x + b_1,\ell_2:y = k_2x + b_2$ ，则：

(1) 若 $k_{1} = k_{2}$ 且 $b_{1} \neq b_{2}$ , 则 $\ell_1 / / \ell_2$ ;

(2) 若 $k_{1} \cdot k_{2} = -1$ , 则 $\ell_{1} \perp \ell_{2}$ .

📌 标注说明

务必注意, 知识点4.3 成立的前提条件是直线的斜率存在. 因此, 在利用直线的斜率来判断平行和垂直关系时, 首要考虑直线斜率的存在性. 如果将直线表示为一般式, 则无须讨论, 但相应的结论可能不易记忆. 因此我们不提倡记忆一般形式的结论.

✍️ 例 4.6

已知直线 $\ell_{1}: ax + 2y + 6 = 0$ 和直线 $\ell_{2}: x + (a - 1)y + a^{2} - 1 = 0,$ 若 $\ell_{1} \parallel \ell_{2},$ 则 a = ____.

🔑 查看解析与步骤

据条件可知直线的斜率存在, 则可得 $k_{1} = -\frac{a}{2}, k_{2} = \frac{1}{1 - a}$ , 因为 $\ell_{1} / / \ell_{2}$ , 则 $k_{1} = k_{2}$ , 可得 $-\frac{a}{2} = \frac{1}{1 - a}$ , 解得 $a = 2$ 或 $a = -1$ .

当 $a = 2$ 时, $\ell_1: x + y + 3 = 0$ , $\ell_2: x + y + 3 = 0$ , 此时直线 $\ell_1, \ell_2$ 重合, 不满足题意, 故舍去. 当 $a = -1$ 时, $\ell_1: -x + 2y + 6 = 0$ , $\ell_2: x - 2y = 0$ , 故 $\ell_1 / / \ell_2$ , 满足题意.

综上, 可知 a = -1, 故填 -1.

🎯 变式 4.6.1

（2023 吉林统考二模）已知 a > 0, b > 0, 若直线 $\ell_{1}: ax + by - 2 = 0$ 与直线 $\ell_{2}: 2x + (1 - a)y + 1 = 0$ 垂直, 则 $a + 2b$ 的最小值为 ( ).

A. 1 B. 3 C. 8 D. 9